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Opérations, comparaison et composition

 deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction

Sommaire

Limites et opérationsLimite d'une somme de fonctionsLimite d'un produit de fonctionsLimite d'un quotient de fonctions
Limites et ordreThéorème de comparaisonThéorème des gendarmes
Limite et composéeLimite d'une fonction composée

Limites et opérations

Limite d'une somme de fonctions

Propriété
Soit
fff
 et 
ggg
 deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction
f+g
. 
α\alphaα
 désigne 
−∞-\infty−∞
, 
+∞+\infty+∞
 ou un réel.
FIsignifieFormeIndéterminée.
lim⁡x→αf(x)ℓ1∈Rℓ∈Rℓ∈R+∞+∞−∞lim⁡x→αg(x)ℓ2∈R+∞−∞+∞−∞−∞lim⁡x→α(f+g)(x)ℓ1+ℓ2+∞−∞+∞FI−∞\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & +\infty & \color{red}{+\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R} & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{-\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}(f+g)(x)} & \ell_1+\ell_2 & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{\textbf{FI}} & -\infty \\ \hline \end{array}x→αlim​f(x)x→αlim​g(x)x→αlim​(f+g)(x)​ℓ1​∈Rℓ2​∈Rℓ1​+ℓ2​​ℓ∈R+∞+∞​ℓ∈R−∞−∞​+∞+∞+∞​+∞−∞FI​−∞−∞−∞​​
Énoncé
Déterminer les limites suivantes : 
lim⁡x→−∞(x2−2x+7)\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2-2x+7)x→−∞lim​(x2−2x+7)
 et
lim⁡x→0x<0(x3+1x)\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\left(x^3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)x→0x<0​lim​(x3+x1​)
.
Solution
lim⁡x→−∞x2=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\inftyx→−∞lim​x2=+∞
 et
lim⁡x→−∞(−2x+7)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(-2x+7)=+\inftyx→−∞lim​(−2x+7)=+∞
donc par somme
lim⁡x→−∞(x2−2x+7)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2-2x+7)=+\inftyx→−∞lim​(x2−2x+7)=+∞
.
lim⁡x→0x3=0\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\}}x^3=0x→0​lim​x3=0
 donc
lim⁡x→0x<0x3=0\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}x^3=0x→0x<0​lim​x3=0
 et
lim⁡x→0x<01x=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\displaystyle\frac{1}{x}=-\inftyx→0x<0​lim​x1​=−∞
donc par somme
lim⁡x→0x<0(x3+1x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\left(x^3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=-\inftyx→0x<0​lim​(x3+x1​)=−∞
.

Limite d'un produit de fonctions

Propriété
Soit
fff
 et 
ggg
 deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction
f \times g
. 
α\alphaα
 désigne 
−∞-\infty−∞
, 
+∞+\infty+∞
 ou un réel.
FIsignifieFormeIndéterminée.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R}, \ell\neq 0 & \pm \infty & \color{red}{\pm \infty} \\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R} & \pm \infty & \pm \infty & \color{red}{0}\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}(f \times g)(x)} & \ell_1\times \ell_2 & \pm \infty \text{ (règle des signes)} & \pm \infty \text{( règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ \hline \end{array}
Énoncé
Déterminerles limites suivantes : 
lim⁡x→−∞(−10x5)\lim\limits_{x \to -\infty}(-10x^5)x→−∞lim​(−10x5)
 et
lim⁡x→0x>0[(1+1x)(5x2−7)]\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(5x^2-7\right)\right]x→0x>0​lim​[(1+x1​)(5x2−7)]
.
Solution
lim⁡x→−∞(−10)=−10\lim\limits_{x \to -\infty}(-10)=-10x→−∞lim​(−10)=−10
 et
lim⁡x→−∞x5=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^5=-\inftyx→−∞lim​x5=−∞
donc par produit
lim⁡x→−∞(−10x5)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(-10x^5)=+\inftyx→−∞lim​(−10x5)=+∞
.
lim⁡x→0x>0(1+1x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=+\inftyx→0x>0​lim​(1+x1​)=+∞
 et
lim⁡x→0x>0(5x2−7)=−7\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left(5x^2-7\right)=-7x→0x>0​lim​(5x2−7)=−7
donc par produit
lim⁡x→0x>0[(1+1x)(5x2−7)]=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(5x^2-7\right)\right]=-\inftyx→0x>0​lim​[(1+x1​)(5x2−7)]=−∞
.

Limite d'un quotient de fonctions

Propriété
Soit
f
et
g
deux fonctions telles que la fonction
g
 ne s'annule pas. On s'intéresse à la limite dela fonction
f/g
.
\alpha
 désigne
−∞-\infty−∞
, 
+\infty
 ou un réel.
FIsignifieFormeIndéterminée.
lim⁡x→αf(x)ℓ1∈Rℓ∈R, ℓ≠0ℓ∈R±∞0±∞lim⁡x→αg(x)ℓ2∈R, ℓ2≠00±∞ℓ∈R0±∞lim⁡x→αfg(x)ℓ1ℓ2±∞(reˋgle des signes)0±∞(reˋgle des signes)FIFI\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R},\ \ell\neq 0 & \ell \in \mathbb{R} & \pm \infty & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty} \\\hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R},\ \ell_2\neq 0 & 0 & \pm \infty & \ell \in \mathbb{R} & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty}\\\hline & & & & & &\\\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}\displaystyle\frac{f}{g}(x)} & \displaystyle\frac{\ell_1}{\ell_2} & \pm \infty \text{(règle des signes)} & 0 & \pm \infty \text{(règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ & & & & & &\\ \hline\end{array}x→αlim​f(x)x→αlim​g(x)x→αlim​gf​(x)​ℓ1​∈Rℓ2​∈R, ℓ2​=0ℓ2​ℓ1​​​ℓ∈R, ℓ=00±∞(reˋgle des signes)​ℓ∈R±∞0​±∞ℓ∈R±∞(reˋgle des signes)​00FI​±∞±∞FI​​
Remarque
Les résultats de lacolonne 3, et de la colonne 5dans le cas où 
ℓ=0\ell =0ℓ=0
, ne s'appliquent que lorsque la fonction
ggg
 est de signe constant au voisinage de
α\alphaα
.
Énoncé
Déterminerles limites suivantes :
lim⁡x→−∞2x2+1\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x^2+1}x→−∞lim​x2+12​
 et
lim⁡x→2x>21−x4−2x\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\displaystyle\frac{1-x}{4-2x}x→2x>2​lim​4−2x1−x​
.
Solution
lim⁡x→−∞2=2\lim\limits_{x \to -\infty}2=2x→−∞lim​2=2
 et
lim⁡x→−∞(x2+1)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2+1)=+\inftyx→−∞lim​(x2+1)=+∞
donc par quotient
lim⁡x→−∞2x2+1=0\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x^2+1}=0x→−∞lim​x2+12​=0
.
lim⁡x→2x>2(1−x)=−1\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(1-x)=-1x→2x>2​lim​(1−x)=−1
 .
lim⁡x→2x>2(4−2x)=0\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(4-2x)=0x→2x>2​lim​(4−2x)=0
.Comme
4−2x4-2x4−2x
 se trouve au dénominateur, il est important devérifier que, lorsque
xxx
 tend vers
222
 par valeurs supérieures,
4−2x4-2x4−2x
 est de signe constant.
x↦4−2xx \mapsto 4-2xx↦4−2x
 est une fonction affine qui s'annule en
x=2x=2x=2
.Son tableau de signes est le suivant.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque
xxx
 tend vers
222
 par valeurs supérieures,
4−2x4-2x4−2x
estnégatif, on écrira alors que 
lim⁡x→2x>2(4−2x)=0−\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(4-2x)=0^-x→2x>2​lim​(4−2x)=0−
donc, par quotient, en appliquant la règle des signes, 
lim⁡x→2x>21−x4−2x=+∞\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\displaystyle\frac{1-x}{4-2x}=+\inftyx→2x>2​lim​4−2x1−x​=+∞
.

Limites et ordre

Théorème de comparaison

Dans cette perle, 
α\alphaα
désigne
−∞-\infty−∞
, 
+∞+\infty+∞
 ou un réel.
Théorème
Soit `f`et 
g
deux fonctions telles que, au voisinage de 
α\alphaα
, on a
f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)f(x)⩽g(x)
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
lim⁡x→αf(x)=+∞\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=+\inftyx→αlim​f(x)=+∞
, alors
lim⁡x→αg(x)=+∞\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=+\inftyx→αlim​g(x)=+∞
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
lim⁡x→αg(x)=−∞\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=-\inftyx→αlim​g(x)=−∞
, alors
lim⁡x→αf(x)=−∞\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=-\inftyx→αlim​f(x)=−∞
.
Énoncé
On considère une fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
ettelle que, pour tout réel
x∈[0 ;+∞[x \in [0\ ;+\infty[x∈[0 ;+∞[
,
f(x)⩾xf(x)\geqslant \sqrt{x}f(x)⩾x​
.
Déterminer
lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)x→+∞lim​f(x)
.
Solution
lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\inftyx→+∞lim​x​=+∞
 donc, d'après le théorème de comparaison,
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
.

Théorème des gendarmes

Dans cette perle, 
α\alphaα
désigne
−∞-\infty−∞
, 
+∞+\infty+∞
 ou un réel.
Théorème des gendarmes
Soit 
f
,
g
 et
h
 trois fonctions telles que :
f(x)⩽g(x)⩽h(x)f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)f(x)⩽g(x)⩽h(x)
 auvoisinage de 
α\alphaα
;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;il existe 
ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}ℓ∈R
tel que 
lim⁡x→αf(x)=ℓ\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=\ellx→αlim​f(x)=ℓ
et 
lim⁡x→αh(x)=ℓ\lim\limits_{x \to \alpha}h(x)=\ellx→αlim​h(x)=ℓ
 ; 
alors 
lim⁡x→αg(x)=ℓ\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=\ellx→αlim​g(x)=ℓ
.
Énoncé
Déterminerla limite suivante : 
lim⁡x→+∞(1+sin⁡(x2)x)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\right)x→+∞lim​(1+xsin(x2)​)
.
Solution
Pour tout réel
x, −1⩽sin⁡(x2)⩽1x, \ -1 \leqslant \sin(x^2) \leqslant 1x, −1⩽sin(x2)⩽1
.
Pour tout réel
x>0, −1x⩽sin⁡(x2)x⩽1xx>0, \ -\displaystyle\frac{1}{x} \leqslant \displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x} \leqslant \displaystyle\frac{1}{x}x>0, −x1​⩽xsin(x2)​⩽x1​
.
Enfin, pour tout réel
x>0, 1−1x⩽1+sin⁡(x2)x⩽1+1xx>0, \ 1-\displaystyle\frac{1}{x} \leqslant 1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x} \leqslant 1+\displaystyle\frac{1}{x}x>0, 1−x1​⩽1+xsin(x2)​⩽1+x1​
.
lim⁡x→+∞(1−1x)=1\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1x→+∞lim​(1−x1​)=1
 et
lim⁡x→+∞(1+1x)=1\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1x→+∞lim​(1+x1​)=1
 donc, d'après le théorème des gendarmes,
lim⁡x→+∞(1+sin⁡(x2)x)=1\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\right)=1x→+∞lim​(1+xsin(x2)​)=1
.
Remarque
D'après le résultat précédent, la courbe représentativede la fonction
fff
 définie sur
[1 ;+∞[[1\ ;+\infty[[1 ;+∞[
 par
f(x)=1+sin⁡(x2)xf(x)=1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}f(x)=1+xsin(x2)​
 admet une asymptote horizontale d'équation
y=1y=1y=1
 au voisinage de
+∞+\infty+∞
.

Limite et composée

Limite d'une fonction composée

Théorème(admis)
Sous réserve d’existencedes limites, 
α, β\alpha,\ \betaα, β
et 
γ\gammaγ
pouvant être remplacés par
+∞+\infty+∞
, 
−∞-\infty−∞
 ou un réel, si
lim⁡x→αu(x)=β\lim\limits_{\color{green}{x \to \alpha}}u(x)=\color{red}\betax→αlim​u(x)=β
 et 
lim⁡X→βv(X)=γ\lim\limits_{\color{red}{X \to \beta}}v(X)=\color{blue}{\gamma}X→βlim​v(X)=γ
, alors 
lim⁡x→αv(u(x))=γ\lim\limits_{\color{green}{x \to \alpha}}v(u(x))=\color{blue}{\gamma}x→αlim​v(u(x))=γ
.
Remarque
La fonction
x↦v(u(x))x \mapsto v(u(x))x↦v(u(x))
 est appeléecomposéede
uuu
 par
vvv
. Cette notion sera étudiée dans un autre chapitre.
Exemples
lim⁡x→+∞(4+1x)=4\lim\limits_{\color{green}{x \to +\infty}}\left(4+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=\color{red}{4}x→+∞lim​(4+x1​)=4
 et
lim⁡X→4X=4=2\lim\limits_{\color{red}{X \to 4}}\sqrt{X}=\sqrt{4}=\color{blue}2X→4lim​X​=4​=2
 donc par composée
lim⁡x→+∞4+1x=2\lim\limits_{\color{green}{x \to +\infty}}\sqrt{4+\displaystyle\frac{1}{x}}=\color{blue}2x→+∞lim​4+x1​​=2
.
lim⁡x→0(2−1x2)=−∞\lim\limits_{\color{green}{x \to 0}}\left(2-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=\color{red}{-\infty}x→0lim​(2−x21​)=−∞
 et
lim⁡X→−∞X4=+∞\lim\limits_{\color{red}{X \to -\infty}}X^4=\color{blue}{+\infty}X→−∞lim​X4=+∞
 donc par composée
lim⁡x→0(2−1x2)4=+∞\lim\limits_{\color{green}{x \to 0}}\left( 2- \displaystyle\frac{1}{x^2} \right)^4=\color{blue}{+\infty}x→0lim​(2−x21​)4=+∞
.