Limites et fonction exponentielle

Propriété

\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty

.

Démonstration

Limite en\(+\infty\)
On considère la fonction

f

définie sur 

[0 \ ;+\infty[

par

f(x)=\text{e}^x-x

.

f

 est définie et dérivable sur 

[0 \ ;+\infty[

et

\forall x \in [0\ ; +\infty[, \ f'(x)=\text{e}^x-1

.
La fonction exponentielle étant croissante sur

\mathbb{R}

, pour tout réel

x \geqslant 0

,

\text{e}^x \geqslant \text{e}^0

.
Comme 

\text{e}^0=1

, on en déduit donc que, sur

[0 \ ;+\infty[,~f'(x) \geqslant 0

.
Ainsi 

f

est croissante sur 

[0 \ ;+\infty[

, et comme

f(0)=\text{e}^0=1

,

f

est positive sur

[0 \ ;+\infty[

.

\forall x \geqslant 0,\ f(x)\geqslant 0 \Longleftrightarrow \text{e}^x \geqslant x

.
Pour tout réel 

x\geqslant 0,~\text{e}^x \geqslant x

et

\lim\limits_{x \to +\infty}x=+\infty

.
D'après le théorème de comparaison,

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty

.

Limite en\(-\infty\)

\forall x \in \mathbb{R},\ \text{e}^x=\displaystyle\frac{1}{\text{e}^{-x}}

\lim\limits_\color{green}{x \to -\infty}-x=\color{red}{+\infty}

et

\lim\limits_{\color{red}{X \to +\infty}}\text{e}^X=\color{blue}{+\infty}

donc par composée

\lim\limits_\color{green}{x \to -\infty}\text{e}^{-x}=\color{blue}{+\infty}

.
Par inverse,

\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^{-x}}=0

.

Croissances comparées

Propriété

Pour tout entier naturel

n

,

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty

et

\lim\limits_{x \to -\infty}x^n\text{e}^x=0

.

Démonstration

De \(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty\)Dans la démonstration des limites aux bornes, on a vu que, pour tout réel

x \geqslant 0,\ \text{e}^x \geqslant x

.
Ainsi, pour tout entier naturel

n

 et pour tout réel

x \geqslant 0

,on a

\ \text{e}^{\frac{x}{n+1}} \geqslant \frac{x}{n+1}

.

La fonction

x \mapsto x^{n+1}

 est croissante sur

[0\ ;+\infty[

 donc, pour tout entier naturel

n

 et pour tout réel

x \geqslant 0

,on a

\ \text{e}^{x} \geqslant \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}

.
Pour tout entier naturel

n

 et pour tout réel

x \geqslant 0,

 on adonc

\displaystyle\frac{\text{e}^{x}}{x^n} \geqslant \frac{x}{(n+1)^{n+1}}

.
Or

\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{(n+1)^{n+1}}=+\infty

.
Donc, d'après le théorème de comparaison, pour tout entier naturel 

n

, on a :

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty

.