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Limites et fonction exponentielle

\(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0\)

Sommaire

Limites aux bornesCroissances comparées

Limites aux bornes

Propriété
lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0x→−∞lim​ex=0
 et
lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\inftyx→+∞lim​ex=+∞
.
Démonstration
Limite en\(+\infty\)
On considère la fonction
fff
définie sur 
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
par
f(x)=ex−xf(x)=\text{e}^x-xf(x)=ex−x
. 
fff
 est définie et dérivable sur 
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
et
∀x∈[0 ;+∞[, f′(x)=ex−1\forall x \in [0\ ; +\infty[, \ f'(x)=\text{e}^x-1∀x∈[0 ;+∞[, f′(x)=ex−1
.
La fonction exponentielle étant croissante sur
R\mathbb{R}R
, pour tout réel
x⩾0x \geqslant 0x⩾0
,
ex⩾e0\text{e}^x \geqslant \text{e}^0ex⩾e0
.
Comme 
e0=1\text{e}^0=1e0=1
, on en déduit donc que, sur
[0 ;+∞[, f′(x)⩾0[0 \ ;+\infty[,~f'(x) \geqslant 0[0 ;+∞[, f′(x)⩾0
.
Ainsi 
fff
est croissante sur 
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
, et comme
f(0)=e0=1f(0)=\text{e}^0=1f(0)=e0=1
, 
fff
est positive sur
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
.
∀x⩾0, f(x)⩾0⟺ex⩾x\forall x \geqslant 0,\ f(x)\geqslant 0 \Longleftrightarrow \text{e}^x \geqslant x∀x⩾0, f(x)⩾0⟺ex⩾x
.
Pour tout réel 
x⩾0, ex⩾xx\geqslant 0,~\text{e}^x \geqslant xx⩾0, ex⩾x
et
lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x=+\inftyx→+∞lim​x=+∞
.
D'après le théorème de comparaison,
lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\inftyx→+∞lim​ex=+∞
.
Limite en\(-\infty\)
∀x∈R, ex=1e−x\forall x \in \mathbb{R},\ \text{e}^x=\displaystyle\frac{1}{\text{e}^{-x}}∀x∈R, ex=e−x1​
\lim\limits_\color{green}{x \to -\infty}-x=\color{red}{+\infty}
 et 
lim⁡X→+∞eX=+∞\lim\limits_{\color{red}{X \to +\infty}}\text{e}^X=\color{blue}{+\infty}X→+∞lim​eX=+∞
donc par composée
\lim\limits_\color{green}{x \to -\infty}\text{e}^{-x}=\color{blue}{+\infty}
.
Par inverse,
lim⁡x→−∞1e−x=0\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^{-x}}=0x→−∞lim​e−x1​=0
.

Croissances comparées

Propriété
Pour tout entier naturel
nnn
, 
lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\inftyx→+∞lim​xnex​=+∞
et
lim⁡x→−∞xnex=0\lim\limits_{x \to -\infty}x^n\text{e}^x=0x→−∞lim​xnex=0
.
Démonstration
De \(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty\)Dans la démonstration des limites aux bornes, on a vu que, pour tout réel
x⩾0, ex⩾xx \geqslant 0,\ \text{e}^x \geqslant xx⩾0, ex⩾x
.
Ainsi, pour tout entier naturel
nnn
 et pour tout réel
x⩾0x \geqslant 0x⩾0
,on a
 exn+1⩾xn+1\ \text{e}^{\frac{x}{n+1}} \geqslant \frac{x}{n+1} en+1x​⩾n+1x​
.
La fonction
x↦xn+1x \mapsto x^{n+1}x↦xn+1
 est croissante sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
 donc, pour tout entier naturel
nnn
 et pour tout réel
x⩾0x \geqslant 0x⩾0
,on a
 ex⩾xn+1(n+1)n+1\ \text{e}^{x} \geqslant \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} ex⩾(n+1)n+1xn+1​
.
Pour tout entier naturel
nnn
 et pour tout réel
x⩾0,x \geqslant 0,x⩾0,
 on adonc
exxn⩾x(n+1)n+1\displaystyle\frac{\text{e}^{x}}{x^n} \geqslant \frac{x}{(n+1)^{n+1}}xnex​⩾(n+1)n+1x​
.
Or
lim⁡x→+∞x(n+1)n+1=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{(n+1)^{n+1}}=+\inftyx→+∞lim​(n+1)n+1x​=+∞
.
Donc, d'après le théorème de comparaison, pour tout entier naturel 
nnn
, on a :
lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\inftyx→+∞lim​xnex​=+∞
.