Lever des indéterminations

Méthode

Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui tend« le plus vite »vers l'infinipour ensuite utiliser les règles sur les produits.

Énoncé

Déterminer

\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5x^4-3x^3+4x+1\right)

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\text{e}^x-x^2\right)

.

Solution

Pour tout réel 

x \neq 0

,

-5x^4-3x^3+4x+1=x^4\left(-5-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\right)

.

\lim\limits_{x \to -\infty}x^4=+\infty

et

\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\right)=-5

donc par produit

\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5x^4-3x^3+4x+1\right)=-\infty

.

Pour tout réel

x

,

\text{e}^x-x^2=\text{e}^x\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)

.

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty

.

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^2}=+\infty

 par croissances comparées. Donc par inverse

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}=0

.
On en déduit que

\lim\limits_{x \to +\infty}\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)=1

.
Enfin, par produit,

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)=+\infty

.

✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (1)

Méthode

Pour lever une indétermination dans un quotient, lorsquele numérateur etledénominateur tendent vers l'infini, il peut être judicieux defactoriser par le terme qui tend« le plus vite »vers l'infini au numérateur et le terme qui tend « le plus vite »vers l'infini au dénominateur. On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.

Énoncé

Déterminer

\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{4x^2-3}{5-x}

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{3\text{e}^x-7}{x^5-2}

.

Solution

Pour tout réel

x \neq 0,\ \displaystyle\frac{4x^2-3}{5-x}=\displaystyle\frac{x^2\left(4-\frac{3}{x^2}\right)}{x\left(\frac{5}{x}-1\right)}

.
Pour tout réel

x \neq 0,\ \displaystyle\frac{4x^2-3}{5-x}=x \times \displaystyle\frac{4-\frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x}-1}

.

\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\infty

,

\lim\limits_{x \to -\infty}4-\displaystyle\frac{3}{x^2}=4

et

\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{5}{x}-1=-1

Par produit et quotient,

\lim\limits_{x \to -\infty}\left(x \times \displaystyle\frac{4-\frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x}-1}\right)=+\infty

.

Pour tout réel

x \neq 0,\ \displaystyle\frac{3\text{e}^x-7}{x^5-2}=\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^5}\times \displaystyle\frac{3-\frac{7}{\text{e}^x}}{1-\frac{2}{x^5}}

.

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^5}=+\infty

 par croissances comparées.

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(3-\displaystyle\frac{7}{\text{e}^x}\right)=3

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\displaystyle\frac{2}{x^5}\right)=1

.
Par quotient et produit,

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^5}\times \displaystyle\frac{3-\frac{7}{\text{e}^x}}{1-\frac{2}{x^5}}\right)=+\infty

.

✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (2)

Méthode

Lorsqu'on rencontre une indétermination dans un quotient avecle numérateur etle dénominateur qui tendent vers 0, on peutpenser à la limite d'un taux de variationd'une fonction.

Énoncé

Déterminer

\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}

.

Solution

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=x^7

.

f

 est dérivable sur

\mathbb{R}

 et, pour tout réel

x,\ f'(x)=7x^6

.
En particulier

f

 est dérivable en

1

 donc

\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=f'(1)

.
Ainsi

\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=7

.

✎☛ Lever une indétermination dans une expression avec des racines carrées

Remarque 

Soit deux réels

a>0

et

b>0

.

\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

.

\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

.

\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

.

Ainsi, pour tout réel

a>0

et

b>0

, on a

\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

.

Vocabulaire

\sqrt{a}-\sqrt{b}

  est appeléequantitéconjuguéede

\sqrt{a}+\sqrt{b}

.

\sqrt{a}+\sqrt{b}

 est appeléequantitéconjuguéede

\sqrt{a}-\sqrt{b}

.

Méthode

Lorsqu'on rencontre une forme indéterminée faisant intervenir des racines carrées, on peut penser àmultiplier par la quantité conjuguée de l'expression.

Énoncé

Déterminer

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}\right)

.

Solution

Soit \(x\)un réel. Sous réserve d'existence,

\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}

\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{x+3-(x+2)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}

\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}

.

Par composée 

\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x+3}=+\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x+2}=+\infty

donc par somme

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}\right)=+\infty

.
Enfin, par quotient

\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}=0

.