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Lever des indéterminations

Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui...

Sommaire

✎☛ Lever une indétermination dans une somme✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (1)✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (2)✎☛ Lever une indétermination dans une expression avec des racines carrées

✎☛ Lever une indétermination dans une somme

Méthode
Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui tend« le plus vite »vers l'infinipour ensuite utiliser les règles sur les produits.
Énoncé
Déterminer
lim⁡x→−∞(−5x4−3x3+4x+1)\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5x^4-3x^3+4x+1\right)x→−∞lim​(−5x4−3x3+4x+1)
 et
lim⁡x→+∞(ex−x2)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\text{e}^x-x^2\right)x→+∞lim​(ex−x2)
.
Solution
Pour tout réel 
x≠0x \neq 0x=0
, 
−5x4−3x3+4x+1=x4(−5−3x+4x3+1x4)-5x^4-3x^3+4x+1=x^4\left(-5-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\right)−5x4−3x3+4x+1=x4(−5−x3​+x34​+x41​)
.
lim⁡x→−∞x4=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^4=+\inftyx→−∞lim​x4=+∞
 et
lim⁡x→−∞(−5−3x+4x3+1x4)=−5\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}+\displaystyle\frac{1}{x^4}\right)=-5x→−∞lim​(−5−x3​+x34​+x41​)=−5
donc par produit
lim⁡x→−∞(−5x4−3x3+4x+1)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}\left(-5x^4-3x^3+4x+1\right)=-\inftyx→−∞lim​(−5x4−3x3+4x+1)=−∞
.
Pour tout réel
xxx
,
ex−x2=ex(1−x2ex)\text{e}^x-x^2=\text{e}^x\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)ex−x2=ex(1−exx2​)
.
lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\inftyx→+∞lim​ex=+∞
.
lim⁡x→+∞exx2=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^2}=+\inftyx→+∞lim​x2ex​=+∞
 par croissances comparées. Donc par inverse
lim⁡x→+∞x2ex=0\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}=0x→+∞lim​exx2​=0
.
On en déduit que
lim⁡x→+∞(1−x2ex)=1\lim\limits_{x \to +\infty}\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)=1x→+∞lim​(1−exx2​)=1
.
Enfin, par produit,
lim⁡x→+∞ex(1−x2ex)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x\left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{\text{e}^x}\right)=+\inftyx→+∞lim​ex(1−exx2​)=+∞
.

✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (1)

Méthode
Pour lever une indétermination dans un quotient, lorsquele numérateur etledénominateur tendent vers l'infini, il peut être judicieux defactoriser par le terme qui tend« le plus vite »vers l'infini au numérateur et le terme qui tend « le plus vite »vers l'infini au dénominateur. On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.
Énoncé
Déterminer
lim⁡x→−∞4x2−35−x\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{4x^2-3}{5-x}x→−∞lim​5−x4x2−3​
 et
lim⁡x→+∞3ex−7x5−2\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{3\text{e}^x-7}{x^5-2}x→+∞lim​x5−23ex−7​
.
Solution
Pour tout réel
x≠0, 4x2−35−x=x2(4−3x2)x(5x−1)x \neq 0,\ \displaystyle\frac{4x^2-3}{5-x}=\displaystyle\frac{x^2\left(4-\frac{3}{x^2}\right)}{x\left(\frac{5}{x}-1\right)}x=0, 5−x4x2−3​=x(x5​−1)x2(4−x23​)​
.
Pour tout réel
x≠0, 4x2−35−x=x×4−3x25x−1x \neq 0,\ \displaystyle\frac{4x^2-3}{5-x}=x \times \displaystyle\frac{4-\frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x}-1}x=0, 5−x4x2−3​=x×x5​−14−x23​​
.
lim⁡x→−∞x=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\inftyx→−∞lim​x=−∞
, 
lim⁡x→−∞4−3x2=4\lim\limits_{x \to -\infty}4-\displaystyle\frac{3}{x^2}=4x→−∞lim​4−x23​=4
 et
lim⁡x→−∞5x−1=−1\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{5}{x}-1=-1x→−∞lim​x5​−1=−1
Par produit et quotient,
lim⁡x→−∞(x×4−3x25x−1)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}\left(x \times \displaystyle\frac{4-\frac{3}{x^2}}{\frac{5}{x}-1}\right)=+\inftyx→−∞lim​(x×x5​−14−x23​​)=+∞
.
Pour tout réel
x≠0, 3ex−7x5−2=exx5×3−7ex1−2x5x \neq 0,\ \displaystyle\frac{3\text{e}^x-7}{x^5-2}=\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^5}\times \displaystyle\frac{3-\frac{7}{\text{e}^x}}{1-\frac{2}{x^5}}x=0, x5−23ex−7​=x5ex​×1−x52​3−ex7​​
.
lim⁡x→+∞exx5=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^5}=+\inftyx→+∞lim​x5ex​=+∞
 par croissances comparées.
lim⁡x→+∞(3−7ex)=3\lim\limits_{x \to +\infty}\left(3-\displaystyle\frac{7}{\text{e}^x}\right)=3x→+∞lim​(3−ex7​)=3
 et
lim⁡x→+∞(1−2x5)=1\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\displaystyle\frac{2}{x^5}\right)=1x→+∞lim​(1−x52​)=1
.
Par quotient et produit,
lim⁡x→+∞(exx5×3−7ex1−2x5)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^5}\times \displaystyle\frac{3-\frac{7}{\text{e}^x}}{1-\frac{2}{x^5}}\right)=+\inftyx→+∞lim​(x5ex​×1−x52​3−ex7​​)=+∞
.

✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (2)

Méthode
Lorsqu'on rencontre une indétermination dans un quotient avecle numérateur etle dénominateur qui tendent vers 0, on peutpenser à la limite d'un taux de variationd'une fonction.
Énoncé
Déterminer
lim⁡x→1x7−1x−1\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}x→1lim​x−1x7−1​
.
Solution
On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=x7f(x)=x^7f(x)=x7
.
fff
 est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et, pour tout réel
x, f′(x)=7x6x,\ f'(x)=7x^6x, f′(x)=7x6
.
En particulier
fff
 est dérivable en
111
 donc
lim⁡x→1x7−1x−1=f′(1)\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=f'(1)x→1lim​x−1x7−1​=f′(1)
.
Ainsi
lim⁡x→1x7−1x−1=7\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=7x→1lim​x−1x7−1​=7
.

✎☛ Lever une indétermination dans une expression avec des racines carrées

Remarque 
Soit deux réels
a>0a>0a>0
 et
b>0b>0b>0
.
a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}a​−b​=a​+b​(a​−b​)(a​+b​)​
.
a−b=(a)2−(b)2a+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2-(\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}a​−b​=a​+b​(a​)2−(b​)2​
.
a−b=a−ba+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}a​−b​=a​+b​a−b​
.
Ainsi, pour tout réel
a>0a>0a>0
 et
b>0b>0b>0
, on a
a−b=a−ba+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}a​−b​=a​+b​a−b​
.
Vocabulaire
a−b\sqrt{a}-\sqrt{b}a​−b​
  est appeléequantitéconjuguéede
a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}a​+b​
.
a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}a​+b​
 est appeléequantitéconjuguéede
a−b\sqrt{a}-\sqrt{b}a​−b​
.
Méthode
Lorsqu'on rencontre une forme indéterminée faisant intervenir des racines carrées, on peut penser àmultiplier par la quantité conjuguée de l'expression.
Énoncé
Déterminer
lim⁡x→+∞(x+3−x+2)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}\right)x→+∞lim​(x+3​−x+2​)
.
Solution
Soit \(x\)un réel. Sous réserve d'existence,
x+3−x+2=(x+3−x+2)(x+3+x+2)x+3+x+2\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}x+3​−x+2​=x+3​+x+2​(x+3​−x+2​)(x+3​+x+2​)​
x+3−x+2=x+3−(x+2)x+3+x+2\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{x+3-(x+2)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}x+3​−x+2​=x+3​+x+2​x+3−(x+2)​
x+3−x+2=1x+3+x+2\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}x+3​−x+2​=x+3​+x+2​1​
.
Par composée 
lim⁡x→+∞x+3=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x+3}=+\inftyx→+∞lim​x+3​=+∞
et
lim⁡x→+∞x+2=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x+2}=+\inftyx→+∞lim​x+2​=+∞
donc par somme
lim⁡x→+∞(x+3+x+2)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}\right)=+\inftyx→+∞lim​(x+3​+x+2​)=+∞
.
Enfin, par quotient
lim⁡x→+∞1x+3+x+2=0\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}=0x→+∞lim​x+3​+x+2​1​=0
.