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On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction

Sommaire

Lectures graphiques de limites (1)Lecture graphique de limites (2)Asymptote or not ?Lecture d'un tableau de variationsLimites en l'infini et somme (sans indétermination)Limites en l'infini et produit (sans indétermination)Limites en l'infini et quotient (sans indétermination)Limites en un réel et opérationsLimites et composée (sans indétermination)Limites et comparaisonLimites et théorème des gendarmes

Lectures graphiques de limites (1)

Exercice 1
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
.
1.Lire graphiquement les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction.
2.Par lecture graphique, dresser le tableau complet des variations de
f
.
3.La courbe de la fonction
f
 possède-t-elle une ou des asymptotes ? Le cas échéant, préciser une équation de l'asymptote.
Exercice 2
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
.
1.Lire graphiquement les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction.
2.Par lecture graphique, dresser le tableau complet des variations de
f
.
3.La courbe de la fonction
f
 possède-t-elle une ou des asymptotes ? Le cas échéant, préciser une équation de l'asymptote.
Exercice 3
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
.
1.Lire graphiquement les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction.
2.La courbe de la fonction
f
 possède-t-elle une ou des asymptotes ? Le cas échéant, préciser une équation de l'asymptote.

Lecture graphique de limites (2)

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
f
 définie sur  
]-\infty\ ;-3[ \cup ]-3\ ;1[ \cup ]1\ ;+\infty[
.
1.Lire graphiquement les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction.
2.Par lecture graphique, dresser le tableau complet des variations de
f
.
3.La courbe de la fonction
f
 possède-t-elle une ou des asymptotes ? Le cas échéant, préciser une équation de l'asymptote.

Asymptote or not ?

Dans chacun des cas suivants, déterminer si la limite donnée permet d'en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction
fff
. Le cas échéant, préciser une équation de l'asymptote.
1.
lim⁡x→2f(x)=−∞\lim\limits_{x \to 2}f(x)=-\inftyx→2lim​f(x)=−∞
.
2.
lim⁡x→+∞f(x)=10\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=10x→+∞lim​f(x)=10
.
3.
lim⁡x→−∞f(x)=−1\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-1x→−∞lim​f(x)=−1
.
4.
lim⁡x→−1x>−1f(x)=5\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x>-1}}f(x)=5x→−1x>−1​lim​f(x)=5
.
5.
lim⁡x→0x<0f(x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}f(x)=+\inftyx→0x<0​lim​f(x)=+∞
.
6.
lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0x→+∞lim​f(x)=0
.
7. 
lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\inftyx→−∞lim​f(x)=+∞
.

Lecture d'un tableau de variations

Exercice 1
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
. 
La courbe de la fonction
fff
 admet-elle une ou des asymptotes ? Le cas échéant, préciser une équation de l'asymptote.
Exercice 2
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction
fff
.
1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
fff
.
2.La courbe de la fonction
fff
 admet-elle une ou des asymptotes ? Le cas échant, préciser une équation de l'asymptote.
3.Proposer une représentation graphique possibledela fonction
fff
.

Limites en l'infini et somme (sans indétermination)

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction\(f\) est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=3x^3+2x-9
 ; 
\alpha=-\infty
puis 
\alpha=+\infty
2.
f(x)=-8x^4-3x^2+1
 ;
\alpha=-\infty
puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=-7x^2+5x+3
 ;
\alpha=-\infty
4.
f(x)=-2x^5-6x^3+11
; 
\alpha=-\infty
5.
f(x)=3x−7+4xf(x)=3x-7+\displaystyle\frac{4}{x}f(x)=3x−7+x4​
 ; 
\alpha=-\infty
puis 
\alpha=+\infty
6.
f(x)=2x^2+1+\text{e}^x
 ; 
\alpha=-\infty
puis 
\alpha=+\infty
7.
f(x)=ex+4xf(x)=\text{e}^x+\displaystyle\frac{4}{x}f(x)=ex+x4​
; 
\alpha=-\infty
puis 
\alpha=+\infty
8.
f(x)=2x+ex−8x2f(x)=2\sqrt{x}+\text{e}^x-\displaystyle\frac{8}{x^2}f(x)=2x​+ex−x28​
;
\alpha=+\infty

Limites en l'infini et produit (sans indétermination)

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=(2x-5)(4-\text{e}^x)
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
2.
f(x)=(3+1x)(2−4x2)f(x)=\left(3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(2-\displaystyle\frac{4}{x^2}\right)f(x)=(3+x1​)(2−x24​)
; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=(x^3-2)(\text{e}^x-1)
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
4.
f(x)=(1x−2)exf(x)=\left(\displaystyle\frac{1}{x}-2\right)\text{e}^xf(x)=(x1​−2)ex
;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty

Limites en l'infini et quotient (sans indétermination)

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=34x−2f(x)=\displaystyle\frac{3}{4x-2}f(x)=4x−23​
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
2.
f(x)=4ex+5x+2f(x)=\displaystyle\frac{4}{\text{e}^x+\frac{5}{x}+2}f(x)=ex+x5​+24​
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=−9ex−4f(x)=\displaystyle\frac{-9}{\text{e}^x-4}f(x)=ex−4−9​
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
4.
f(x)=1x+6xf(x)=\displaystyle\frac{1}{x+6\sqrt{x}}f(x)=x+6x​1​
 ; 
\alpha=+\infty

Limites en un réel et opérations

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. Si besoin, on distinguera la limite par valeurs inférieures et la limite par valeurs supérieures.
On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=3x−5−6xf(x)=3x-5-\displaystyle\frac{6}{x}f(x)=3x−5−x6​
 ; 
\alpha=0
2.
f(x)=(6+4x2)(ex−2)f(x)=\left(6+\displaystyle\frac{4}{x^2}\right)\left(\text{e}^x-2\right)f(x)=(6+x24​)(ex−2)
 ; 
\alpha=0
3.
f(x)=x210−5xf(x)=\displaystyle\frac{x^2}{10-5x}f(x)=10−5xx2​
; 
\alpha=2
4.
f(x)=3−2x4−xf(x)=\displaystyle\frac{3-2x}{4-x}f(x)=4−x3−2x​
 ; 
\alpha=4
5.
f(x)=5x−1x+3f(x)=\displaystyle\frac{5x-1}{x+3}f(x)=x+35x−1​
 ; 
\alpha=-3
6.
f(x)=exxf(x)=\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x}f(x)=xex​
; 
\alpha=0
7.
f(x)=4x2+2x−3f(x)=\displaystyle\frac{4}{x^2+2x-3}f(x)=x2+2x−34​
; 
\alpha=1
8.
f(x)=6x−1(x−5)2f(x)=\displaystyle\frac{6x-1}{(x-5)^2}f(x)=(x−5)26x−1​
; 
\alpha=5

Limites et composée (sans indétermination)

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=e1xf(x)=\text{e}^{\frac{1}{x}}f(x)=ex1​
 ; 
\alpha=0
par valeurs supérieurespuis
\alpha=0
par valeurs inférieures
2.
f(x)=e−3x2+8f(x)=\text{e}^{-3x^2+8}f(x)=e−3x2+8
 ; 
\alpha=-\infty
  puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=(−5x+3)4f(x)=\left(-5x+3\right)^4f(x)=(−5x+3)4
 ; 
\alpha=-\infty
  puis
\alpha=+\infty
4.
f(x)=(2−ex)3f(x)=\left(2-\text{e}^x\right)^3f(x)=(2−ex)3
 ; 
\alpha=-\infty
  puis
\alpha=+\infty
5.
f(x)=2+1xf(x)=\sqrt{2+\displaystyle\frac{1}{x}}f(x)=2+x1​​
 ; 
\alpha=0
par valeurs supérieures  puis
\alpha=+\infty
6.
f(x)=sin⁡(1+ex)f(x)=\sin\left(1+\text{e}^x\right)f(x)=sin(1+ex)
 ; 
\alpha=-\infty

Limites et comparaison

Exercice 1
On considère une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
et telle que, pour tout réel \(x \geqslant 0\), on a
 f(x)⩾x2+2x−4\ f(x) \geqslant x^2+2x-4 f(x)⩾x2+2x−4
. Déterminer la limite de la fonction
fff
 en
+∞+\infty+∞
.
Exercice 2
On considère une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
et telle que, pour tout réel \(x \leqslant 0\), on a
 f(x)⩽3x−2−ex\ f(x) \leqslant 3x-2-\text{e}^x f(x)⩽3x−2−ex
. Déterminer la limite de la fonction
fff
 en
−∞-\infty−∞
.

Limites et théorème des gendarmes

1.Montrer que, pour tout réel 
xxx
, 
−ex⩽cos⁡(x)ex⩽ex-\text{e}^{x} \leqslant \cos(x)\text{e}^{x} \leqslant \text{e}^{x}−ex⩽cos(x)ex⩽ex
.
2.En déduire
lim⁡x→−∞cos⁡(x)ex\lim\limits_{x \to -\infty}\cos(x)\text{e}^{x}x→−∞lim​cos(x)ex
.