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Un laboratoire d’analyses sanitaires s’intéresse à l’évolution d’une substance polluante présente dans...

Sommaire

* Un problème sanitaire* Graphique et composée* Exploiter un tableau de variations
** Limites et somme** Limites et quotient** Limites variées** Deux méthodes pour une même limite** La fonction mystère** Asymptotes or not - Le retour** Étude de fonction
*** Asymptote oblique*** Luttons contre les idées fausses

** Limites et somme

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=3x2−7x+2f(x)=3x^2-7x+2f(x)=3x2−7x+2
; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
2.
f(x)=−5x3+2x2−4x+1f(x)=-5x^3+2x^2-4x+1f(x)=−5x3+2x2−4x+1
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=ex−3x6+2f(x)=\text{e}^x-3x^6+2f(x)=ex−3x6+2
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty

*** Asymptote oblique

On considère la fonction
fff
 définie sur
]−∞ ; −2[∪]−2 ;+∞[]-\infty\ ;\ -2[ \cup]-2\ ;+\infty[]−∞ ; −2[∪]−2 ;+∞[
 par
f(x)=x2+3x+1x+2f(x)=\displaystyle\frac{x^2+3x+1}{x+2}f(x)=x+2x2+3x+1​
.
1. a.Déterminer les limites de la fonction
fff
 aux bornes de son ensemble de définition.
    b.La courbe représentative de la fonction
fff
 admet-elle une ou des asymptotes ? Préciser, le cas échéant, une équation de l'asymptote.
2. a.Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
.
    b.Étudier les variations de
fff
 et dresser le tableau complet des variations de
fff
.
3.On note
Δ\DeltaΔ
 la droite d'équation

* Un problème sanitaire

Un laboratoire d’analyses sanitaires s’intéresse à l’évolution d’une substance polluante présente dans un réservoir contenant 60 000 litres d’eau et destiné à abreuver du bétail. Le technicien chargé des analyses maintient ce volume d’eau tout au long de l’expérimentation.
On admet que le volume, exprimé en litres, de substance polluante présente dans le réservoir est modélisé par la fonction
f
 définie par
f(t)=1 800(1−e−0,03t)f(t)=1\,800\left(1-\text{e}^{-0,03t}\right)f(t)=1800(1−e−0,03t)
 où
t
 est le temps exprimé en minutes.
1. a.Déterminer la limite de la fonction 
fff
en
+\infty
.
    b.Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction
f
 ?
2.On admet que la fonction
f
 est croissante sur
[0\ ;+\infty[
. Dresser le tableau complet des variations de la fonction
f
 sur
[0\ ;+\infty[
.
3.Est-il possible que le volume de substance polluante dans le réservoir dépasse 4 % du volume du réservoir ? Justifier la réponse.

* Graphique et composée

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
fff
 définie sur
]−∞ ; −1[∪]−1 ;2[∪]2  ;+∞[]-\infty\ ;\ -1[ \cup ]-1\ ; 2[ \cup ]2~\ ; +\infty[]−∞ ; −1[∪]−1 ;2[∪]2  ;+∞[
.
On a tracé en bleu les asymptotes à la courbe.
Déterminer graphiquement les limites suivantes.
1.
lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)x→−∞lim​f(x)
2.
lim⁡x→−1x>−1f(x)\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x>-1}}f(x)x→−1x>−1​lim​f(x)
3.
lim⁡x→−1x<−1f(x)\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x<-1}}f(x)x→−1x<−1​lim​f(x)
4.
lim⁡x→2x<2ef(x)\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x<2}}\text{e}^{f(x)}x→2x<2​lim​ef(x)
5.
lim⁡x→+∞f(x)+5\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{f(x)+5}x→+∞lim​f(x)+5​
6.
lim⁡x→2x>2f(f(x))\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}f(f(x))x→2x>2​lim​f(f(x))

* Exploiter un tableau de variations

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction 
fff
.
1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction 
fff
.
2. La courbe de la fonction 
fff
admet-elle des asymptotes parallèles aux axes de coordonnées ? Justifier.
3. a.Déterminer 
lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty}\sqrt{f(x)}x→−∞lim​f(x)​
    b. Déterminer 
lim⁡x→2x>2ef(x)\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\text{e}^{f(x)}x→2x>2​lim​ef(x)
c. Déterminer 
lim⁡x→+∞1f(x)−5\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{f(x)-5}x→+∞lim​f(x)−51​

4.
f(x)=9x2−4x−2xf(x)=9x^2-4x-\displaystyle\frac{2}{x}f(x)=9x2−4x−x2​
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty

** Limites et quotient

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=2x2+x−1x2−5f(x)=\displaystyle\frac{2x^2+x-1}{x^2-5}f(x)=x2−52x2+x−1​
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
2.
f(x)=−4x+13x2+x+2f(x)=\displaystyle\frac{-4x+1}{3x^2+x+2}f(x)=3x2+x+2−4x+1​
; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=x4+2x+14x−7f(x)=\displaystyle\frac{x^4+2x+1}{4x-7}f(x)=4x−7x4+2x+1​
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
4.
f(x)=exx+1f(x)=\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x+1}f(x)=x+1ex​
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty

** Limites variées

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la fonction
f
 en
\alpha
. On admettra que la fonction
fff
 est définie au voisinage de
α\alphaα
.
1.
f(x)=ex3−4x+1f(x)=\text{e}^{x^3-4x+1}f(x)=ex3−4x+1
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
2.
f(x)=(x+3)e−xf(x)=(x+3)\text{e}^{-x}f(x)=(x+3)e−x
;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
3.
f(x)=21+5e−0,3xf(x)=\displaystyle\frac{2}{1+5\text{e}^{-0,3x}}f(x)=1+5e−0,3x2​
 ; 
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
4.
f(x)=e3x1+e3xf(x)=\displaystyle\frac{\text{e}^{3x}}{1+\text{e}^{3x}}f(x)=1+e3xe3x​
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
5.
f(x)=e2x−1ex−xf(x)=\displaystyle\frac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{x}-x}f(x)=ex−xe2x−1​
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty
6.
f(x)=e4x−e2x+5f(x)=\text{e}^{4x}-\text{e}^{2x}+5f(x)=e4x−e2x+5
 ;
\alpha=-\infty
 puis
\alpha=+\infty

** Deux méthodes pour une même limite

On considère la fonction
f
 définie sur
[3\ ;+\infty[
 par
f(x)=x−3xf(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x-3}}{x}f(x)=xx−3​​
. On cherche à déterminer la limite de la fonction
fff
 en
+∞+\infty+∞
 de deux façons différentes.
1. a.Montrer que, pour tout réel
xxx
 strictement supérieur à 
333
, 
f(x)=1x−3×x−3xf(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x-3}}\times \displaystyle\frac{x-3}{x}f(x)=x−3​1​×xx−3​
.b.En déduire
lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)x→+∞lim​f(x)
.
2. a.Montrer que, pour tout réel
xxx
 supérieur ou égal à 
333
, 
0⩽f(x)⩽1x0\leqslant f(x) \leqslant \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}0⩽f(x)⩽x​1​
.b.En déduire
lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)x→+∞lim​f(x)
.

** La fonction mystère

On considère une fonction 
fff
 définie sur un intervalle de 
R\mathbb{R}R
 par une expressionde la forme
f(x)=ax+bx+cf(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{x+c}f(x)=x+cax+b​
 où 
aaa
, 
bbb
 et 
ccc
 sont des réels que l'on cherche à déterminer.
On sait de plus que 
lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=2x→+∞lim​f(x)=2
et que 
lim⁡x→3x>3f(x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}f(x)=+\inftyx→3x>3​lim​f(x)=+∞
.
Enfin, la courbe représentative de la fonction 
fff
 passe par le point de coordonnées 
(4 ; 7)(4\ ;\ 7)(4 ; 7)
.
Déterminer les valeurs des réels 
aaa
, 
bbb
 et 
ccc
 .

** Asymptotes or not - Le retour

Exercice 1
Montrer que la courbe de la fonction 
fff
 définie sur 
R\{4}\mathbb{R}\backslash \{ 4 \}R\{4}
 par 
f(x)=5x+1x−4f(x)=\displaystyle\frac{5x+1}{x-4}f(x)=x−45x+1​
 admet deux asymptotes dont on précisera l'équation.
Exercice 2
On considère la fonction 
fff
 définie sur 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par 
f(x)=e2x−1xf(x)=\displaystyle\frac{\text{e}^{2x}-1}{x}f(x)=xe2x−1​
. La courbe de cette fonctionadmet-elle une asymptote parallèle à un des axes du repère ? Le cas échant, préciser une équation de l'asymptote.

** Étude de fonction

On considère la fonction 
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x+1exf(x)=\displaystyle\frac{x+1}{\text{e}^x}f(x)=exx+1​
.
1. a.Déterminer la limite de la fonction
fff
 en
−∞-\infty−∞
.
    b.Déterminerla limite de la fonction
fff
 en
+∞+\infty+∞
. Que peut-on en déduire graphiquement ?
2.Étudier les variations de la fonction 
fff
 sur 
R\mathbb{R}R
 .
3.Dresser le tableau complet des variations de la fonction 
fff
 sur 
R\mathbb{R}R
 .

y=x+1y=x+1y=x+1
.a.Montrer que, pour tout réel
x≠−2, f(x)−(x+1)=−1x+2x \neq -2,\ f(x)-(x+1)=\displaystyle\frac{-1}{x+2}x=−2, f(x)−(x+1)=x+2−1​
.
    b.Déterminer
lim⁡x→−∞∣f(x)−(x+1)∣\lim\limits_{x \to -\infty}|f(x)-(x+1)|x→−∞lim​∣f(x)−(x+1)∣
 et
lim⁡x→+∞∣f(x)−(x+1)∣\lim\limits_{x \to +\infty}|f(x)-(x+1)|x→+∞lim​∣f(x)−(x+1)∣
.
    c.Que peut-on en déduire graphiquement ?
4.Étudier la position relative de
Cf\mathscr{C}_fCf​
 et de
Δ\DeltaΔ
.

*** Luttons contre les idées fausses

Dans chacun des cas suivants, déterminer des exemples de fonctions
fff
 et
ggg
 vérifiant les conditions données.
1.
lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\inftyx→−∞lim​f(x)=+∞
 ,
lim⁡x→−∞g(x)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}g(x)=-\inftyx→−∞lim​g(x)=−∞
et
lim⁡x→−∞(f+g)(x)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(f+g)(x)=+\inftyx→−∞lim​(f+g)(x)=+∞
.
2.
lim⁡x→0f(x)=+∞\lim\limits_{x \to 0}f(x)=+\inftyx→0lim​f(x)=+∞
, 
lim⁡x→0g(x)=0\lim\limits_{x \to 0}g(x)=0x→0lim​g(x)=0
et
lim⁡x→0(f×g)(x)=2\lim\limits_{x \to 0}(f\times g)(x)=2x→0lim​(f×g)(x)=2
.
3.
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
,
lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\inftyx→+∞lim​g(x)=+∞
 et
lim⁡x→+∞fg(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f}{g}(x)=0x→+∞lim​gf​(x)=0
.