Revenir
Revenir

Les perles du BAC

\(g(t)=\displaystyle\frac{a}{b+\text{e}^{-t}}\)

Sommaire

Centre étrangers, mars 2023 (partiel)Polynésie, mars 2023 (partiel)Centres étrangers, mai 2022 (partiel)Centres étrangers, juin 2021 (partiel)Asie, juin 2021 (partiel)

Centre étrangers, mars 2023 (partiel)

On considère la fonction 
ggg
définie sur 
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
par
g(t)=ab+e−tg(t)=\displaystyle\frac{a}{b+\text{e}^{-t}}g(t)=b+e−ta​
où 
aaa
et 
bbb
sont deux nombres réels. On sait que
g(0)=2g (0) = 2g(0)=2
et
lim⁡t→+∞g(t)=3\lim\limits_{t \to +\infty}g(t)=3t→+∞lim​g(t)=3
.
Choisir la bonne réponse parmi les propositions ci-dessous.
Les valeurs de 
aaa
et 
bbb
sont :
1.
a=2 et b=3a=2\ \text{et}\ b=3a=2 et b=3
2.
a=4 et b=43a=4\ \text{et}\ b=\displaystyle\frac{4}{3}a=4 et b=34​
3.
a=4 et b=1a=4\ \text{et}\ b=1a=4 et b=1
4.
a=6 et b=2a=6\ \text{et}\ b=2a=6 et b=2

Polynésie, mars 2023 (partiel)

Soit un réel
kkk
 strictement positif.
On considère la fonction 
ggg
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
g(x)=41+e−kx.g (x) = \displaystyle\frac{4}{1+\text{e}^{-kx}} .g(x)=1+e−kx4​.
Déterminer les limites de 
ggg
en 
+∞+\infty+∞
et en
−∞-\infty−∞
.

Centres étrangers, mai 2022 (partiel)

On considère la fonction 
fff
définie pour tout réel
xxx
 par
f(x)=1+x−e0,5x−2.f (x) = 1 +x - \text{e}^{0,5x-2}.f(x)=1+x−e0,5x−2.
1.Déterminer la limite de
fff
 en
−∞-\infty−∞
.
2. a.Démontrer que, pour tout réel 
xxx
non nul,
f(x)=1+0,5x(2−e0,5x0,5x×e−2)f (x) = 1 + 0, 5x\left(2 - \displaystyle\frac{\text{e}^{0,5x}}{0, 5x} \times \text{e}^{-2}\right)f(x)=1+0,5x(2−0,5xe0,5x​×e−2)
.
    b.En déduire la limite de la fonction 
fff
en
+∞+\infty+∞
.

Centres étrangers, juin 2021 (partiel)

On considère la fonction 
f
définie sur 
\mathbb{R}
par
f (x) = 3\text{e}^x − x
. 
Choisir la bonne réponse parmi les propositions suivantes.
1.
lim⁡x→+∞f(x)=3\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=3x→+∞lim​f(x)=3
.
2.
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
.
3.
lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\inftyx→+∞lim​f(x)=−∞
.
4.On ne peut pas déterminer la limite de la fonction
fff
 lorsque
xxx
 tend vers
+∞+\infty+∞
.

Asie, juin 2021 (partiel)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées. Déterminer la proposition exacte.
1.On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=(x2−2x−1)exf (x) = \left(x^2 - 2x - 1\right) \text{e}^xf(x)=(x2−2x−1)ex
.a.La fonction dérivée de 
fff
est la fonction définie par
f′(x)=(2x−2)exf '(x) = (2x - 2)\text{e} ^xf′(x)=(2x−2)ex
.b.La fonction 
fff
est décroissante sur l’intervalle
]−∞ ; 2]] - \infty\ ;\ 2]]−∞ ; 2]
.c.
lim⁡x→−∞f(x)=0.\lim\limits_{x \to -\infty}f (x) = 0.x→−∞lim​f(x)=0.
2.On considère la fonction
fff
 définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=35+ex.f (x) = \displaystyle\frac{3}{5 + \text{e}^x} .f(x)=5+ex3​.
 Sa courbe représentative dans un repère admet :a.une seule asymptote horizontale.b.une asymptote horizontale et une asymptote verticale.c.deux asymptotes horizontales.