Fonction convexe
Définition
Soit
une fonction définie sur un intervalle
. On note
sa courbe représentative.
On dit que
estconvexesur
si, pour tous points
et
de
d'abscisses comprises dans l'intervalle
, la portion de
située entre
et
est en dessous de la droite
.
Exemple
La fonction carré est convexe sur
.
Fonction concave
Définition
Soit
une fonction définie sur un intervalle
. On note
sa courbe représentative.
On dit que
estconcavesur
si, pour tous points
et
de
d'abscisses comprises dans l'intervalle
, la portion de
situéeentre
et
est au-dessus de la droite
.
Exemple
La fonction racine carrée est concave sur
.
Point d'inflexion
Définition
Soit
une fonction définie sur un intervalle
.
On dit que
admet unpoint d’inflexionen
si la fonction
change de convexité en
.
☛ Étude de la convexité
Étudier la convexité d’une fonction, c'est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave.
Énoncé
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
définie sur
.
1.Étudier graphiquement la convexité de
sur
.
2.La courbe admet-elle un ou des points d'inflexion ?
Solution
1.
semble concave sur
et convexe sur
.
2.La courbe semble posséder un point d'inflexion d'abscisse
.