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Convexité

 une fonction définie sur un intervalle

Sommaire

Approche graphiqueFonction convexeFonction concavePoint d'inflexion☛ Étude de la convexité
Convexité des fonctions dérivablesLien entre convexité, f' et f''☛ Étudier la convexité d'une fonction, f' et f''Convexité de quelques fonctions de référencePosition de la courbe par rapport à ses tangentes

Approche graphique

Fonction convexe

Définition
Soit
fff
 une fonction définie sur un intervalle
III
. On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
On dit que
fff
 estconvexesur
III
 si, pour tous points 
A\text AA
et 
B\text BB
de 
Cf\mathscr{C}_fCf​
d'abscisses comprises dans l'intervalle
III
, la portion de 
Cf\mathscr{C}_fCf​
située entre 
A\text AA
et 
B\text BB
est en dessous de la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
Exemple
La fonction carré est convexe sur
R\mathbb{R}R
.

Fonction concave

Définition
Soit
fff
 une fonction définie sur un intervalle
III
. On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
On dit que
fff
 estconcavesur
III
 si, pour tous points 
A\text AA
et 
B\text BB
de 
Cf\mathscr{C}_fCf​
d'abscisses comprises dans l'intervalle
III
, la portion de 
Cf\mathscr{C}_fCf​
situéeentre  
A\text AA
et 
B\text BB
est au-dessus de la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
Exemple
La fonction racine carrée est concave sur
[0 ; +∞[[0\ ;\ +\infty[[0 ; +∞[
.

Point d'inflexion

Définition
Soit
fff
 une fonction définie sur un intervalle
III
.
On dit que 
Cf\mathscr{C}_fCf​
  admet unpoint d’inflexionen 
A(a ; f(a))\text A(a\ ;\ f(a))A(a ; f(a))
si la fonction 
fff
change de convexité en
aaa
.

☛ Étude de la convexité

Étudier la convexité d’une fonction, c'est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave.
Énoncé
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
.
1.Étudier graphiquement la convexité de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.La courbe admet-elle un ou des points d'inflexion ?
Solution
1.
fff
semble concave sur
]−∞ ; 1]]-\infty\ ;\ 1]]−∞ ; 1]
 et convexe sur
[1 ; +∞[[1\ ;\ +\infty[[1 ; +∞[
.
2.La courbe semble posséder un point d'inflexion d'abscisse
111
.

Convexité des fonctions dérivables

Lien entre convexité, f' et f''

Propriété
Soit 
fff
une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle
III
. On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
1.
f est convexe sur I⇔f′ est croissante sur I⇔f′′ est positive sur I.f \text{ est convexe sur } I \Leftrightarrow f' \text{ est croissante sur } I\Leftrightarrow f'' \text{ est positive sur } I .f est convexe sur I⇔f′ est croissante sur I⇔f′′ est positive sur I.
2.
f est concave sur I⇔f′ est deˊcroissante sur I⇔f′′ est neˊgative sur I.f \text{ est concave sur } I \Leftrightarrow f' \text{ est décroissante sur } I\Leftrightarrow f'' \text{ est négative sur } I .f est concave sur I⇔f′ est deˊcroissante sur I⇔f′′ est neˊgative sur I.
3.
Cf\mathscr{C}_fCf​
 admet unpoint d'inflexion d'abscisse 
a⇔f′′a \Leftrightarrow f''a⇔f′′
 s'annule et change de signe en
aaa
.

☛ Étudier la convexité d'une fonction, f' et f''

Énoncé
Étudier la convexité de la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1)\text{e}^xf(x)=(x+1)ex
.
Solution
fff
 est deux fois dérivable sur
R\mathbb{R}R
.
∀x∈R, f′(x)=1×ex+(x+1)ex\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=1 \times \text{e}^x+(x+1)\text{e}^x∀x∈R, f′(x)=1×ex+(x+1)ex
.
∀x∈R, f′(x)=(x+2)ex\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=(x+2)\text{e}^x∀x∈R, f′(x)=(x+2)ex
.
∀x∈R, f′′(x)=1×ex+(x+2)ex\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)=1 \times \text{e}^x+(x+2)\text{e}^x∀x∈R, f′′(x)=1×ex+(x+2)ex
.
∀x∈R, f′′(x)=(x+3)ex\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)=(x+3)\text{e}^x∀x∈R, f′′(x)=(x+3)ex
.
∀x∈R, ex>0\forall x \in \mathbb{R},\ \text{e}^x>0∀x∈R, ex>0
 donc
f′′(x)f''(x)f′′(x)
 est du signe de
x+3x+3x+3
.
x+3=0⟺x=−3x+3=0 \Longleftrightarrow x=-3x+3=0⟺x=−3
On obtient le tableau de signes de
f′′(x)f''(x)f′′(x)
 suivant :
Ainsi
fff
 est concave sur
]−∞ ; −3]]-\infty\ ;\ -3]]−∞ ; −3]
 et
fff
 est convexe sur
[−3 ; +∞[[-3\ ;\ +\infty[[−3 ; +∞[
.

Convexité de quelques fonctions de référence

Fonction carré
Soit
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
.
fff
 est deux fois dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et
∀x∈R, f′(x)=2x et f′′(x)=2\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=2x\text{ et } f''(x)=2∀x∈R, f′(x)=2x et f′′(x)=2
.
∀x∈R, f′′(x)>0\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)>0∀x∈R, f′′(x)>0
, doncla fonction carré est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Fonction cube
Soit
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3
.
fff
 est deux fois dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et
∀x∈R, f′(x)=3x2 et f′′(x)=6x\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=3x^2\text{ et } f''(x)=6x∀x∈R, f′(x)=3x2 et f′′(x)=6x
.
∀x∈]−∞ ; 0], f′′(x)⩽0\forall x \in ]-\infty\ ;\ 0],\ f''(x)\leqslant0∀x∈]−∞ ; 0], f′′(x)⩽0
, doncla fonction cube est concave sur \(]-\infty\ ;\ 0]\).
    • 
∀x∈[0 ; +∞[, f′′(x)⩾0\forall x \in [0\ ;\ +\infty[,\ f''(x)\geqslant0∀x∈[0 ; +∞[, f′′(x)⩾0
, doncla fonction cube est convexe sur \([0\ ;\ +\infty[\).
La courbe représentative de la fonction cube admet donc un point d'inflexion d'abscisse\(0\).
Fonction inverse
Soit
fff
 définie sur
]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[]-\infty\ ;\ 0[ \cup ]0\ ;\ +\infty[]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[
 par
f(x)=1xf(x)=\displaystyle\frac{1}{x}f(x)=x1​
.
fff
 est deuxfois dérivable sur\(]-\infty\ ;\ 0[\) et sur
]0 ; +∞[]0\ ;\ +\infty[]0 ; +∞[
.
∀x∈]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[, f′(x)=−1x2 et f′′(x)=2x3\forall x \in ]-\infty\ ;\ 0[ \cup ]0\ ;\ +\infty[,\ f'(x)=-\displaystyle\frac{1}{x^2}\text{ et } f''(x)=\displaystyle\frac{2}{x^3}∀x∈]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[, f′(x)=−x21​ et f′′(x)=x32​
.
∀x∈]−∞ ; 0[, f′′(x)<0\forall x \in ]-\infty\ ;\ 0[,\ f''(x) < 0∀x∈]−∞ ; 0[, f′′(x)<0
, doncla fonction inverse est concave sur \(]-\infty\ ;\ 0[\).
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;
∀x∈]0 ; +∞[, f′′(x)>0\forall x \in ]0\ ;\ +\infty[,\ f''(x)>0∀x∈]0 ; +∞[, f′′(x)>0
, doncla fonction inverse est convexe sur \(]0\ ;\ +\infty[\).
Fonction exponentielle
Soit
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=exf(x)=\text{e}^xf(x)=ex
.
fff
 est deux fois dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et
∀x∈R, f′(x)=ex et f′′(x)=ex\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=\text{e}^x\text{ et } f''(x)=\text{e}^x∀x∈R, f′(x)=ex et f′′(x)=ex
.
∀x∈R, f′′(x)>0\forall x \in \mathbb{R},\ f''(x)>0∀x∈R, f′′(x)>0
, doncla fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Position de la courbe par rapport à ses tangentes

Propriété
On considère une fonction 
fff
 définie et dérivable sur un intervalle
III
 et on note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
fff
 est convexe sur
III
 si et seulement si
Cf\mathscr{C}_fCf​
 est au-dessus de ses tangentes sur
III
.
fff
 est concave sur
III
 si et seulement si
Cf\mathscr{C}_fCf​
 est en dessous de ses tangentes sur
III
.
fff
 possède un point d'inflexion d'abscisse
aaa
 si et seulement si
Cf\mathscr{C}_fCf​
traversesa tangente en
aaa
.
Démonstration partielle du premier point
Soit
fff
 une fonction définie, dérivable et convexe sur un intervalle
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
. Montrons que
Cf\mathscr{C}_fCf​
 est située au dessus des tangentes à la courbesur \(]\alpha\ ;\ \beta[\).
Soit
a∈]α ; β[a \in ]\alpha\ ;\ \beta[a∈]α ; β[
.
La tangente à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au point d'abscisse
aaa
 a pour équation
y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)y=f′(a)(x−a)+f(a)
.
On pose, pour tout réel
x∈]α ; β[, φ(x)=f(x)−(f′(a)(x−a)+f(a))x\in]\alpha\ ;\ \beta[,\ \varphi(x)=f(x)-\left(f'(a)(x-a)+f(a)\right)x∈]α ; β[, φ(x)=f(x)−(f′(a)(x−a)+f(a))
.
Le but de cette démonstration est de montrer que
φ\varphiφ
 est positive sur l'intervalle
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
.
φ\varphiφ
 est dérivable sur l'intervalle
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
.
∀x∈]α ; β[, φ′(x)=f′(x)−f′(a)\forall x \in ]\alpha\ ;\ \beta[,\ \varphi'(x)=f'(x)-f'(a)∀x∈]α ; β[, φ′(x)=f′(x)−f′(a)
.
fff
 est convexe sur
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
 donc
f′f'f′
 est croissante sur
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
 . Ainsi :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;pour tout réel
xxx
 de l'intervalle
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
 tel que
x⩽a on a f′(x)⩽f′(a)x \leqslant a\ \text{on a}\ f'(x)\leqslant f'(a)x⩽a on a f′(x)⩽f′(a)
 donc
φ′(x)⩽0\varphi'(x)\leqslant 0φ′(x)⩽0
 ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;pour tout réel
xxx
 de l'intervalle
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
 tel que
x⩾a on a f′(x)⩾f′(a)x \geqslant a\ \text{on a}\ f'(x)\geqslant f'(a)x⩾a on a f′(x)⩾f′(a)
 donc
φ′(x)⩾0\varphi'(x)\geqslant 0φ′(x)⩾0
.
De plus, 
φ′(a)=f′(a)−f′(a)\varphi'(a)=f'(a)-f'(a)φ′(a)=f′(a)−f′(a)
 donc
φ′(a)=0\varphi'(a)=0φ′(a)=0
.
On en déduit le tableau de signes de
φ′\varphi'φ′
 et de variations de
φ\varphiφ
 suivant :
La fonction
φ\varphiφ
 admet un minimum sur
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
 en
x=ax=ax=a
.
φ(a)=f(a)−(f′(a)(a−a)+f(a))=0\varphi(a)=f(a)-(f'(a)(a-a)+f(a))=0φ(a)=f(a)−(f′(a)(a−a)+f(a))=0
Le minimum de la fonction
φ\varphiφ
 sur
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
 vaut
000
 donc la fonction
φ\varphiφ
 est positive sur l'intervalle
]α ; β[]\alpha\ ;\ \beta[]α ; β[
.
Ainsi, pour tout réel
xxx
 de l'intervalle 
]α ; β[,f(x)⩾f′(a)(x−a)+f(a)]\alpha\ ;\ \beta[, f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a)]α ; β[,f(x)⩾f′(a)(x−a)+f(a)
 donc la courbe est bien située au dessus de ses tangentes.