Quizéo

Dans chacun des cas suivants,déterminer `(u\circ v)(x)` et

(v\circ u)(x)

. On précisera les valeurs du réel

x

 pour lesquelles les calculs sont possibles.

1.

u

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

u(x)=\text{e}^x

et

v

est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

v(x)=-3x^2+5

.

2.

u

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

u(x)=x-9

et

v

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

v(x)=x^3

.

3.

u

 est la fonction définie sur

[0\ ;\ +\infty[

par

u(x)=\sqrt{x}

et

v

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

v(x)=x^2+10

.

4.

u

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

u(x)=\text{e}^x+1

et

v

 est la fonction définie sur

]0\ ;\ +\infty[

par

v(x)=\displaystyle\frac{1}{x}

.

Dans chacun des cas suivants, déterminer une fonction

u

 et une fonction

v

 telles que

f=v\circ u

.

1.

f

 est la fonction définie sur

]-2\ ;\ +\infty[

par

f(x)=\displaystyle\frac{1}{5x+10}

.

2.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{x^2+3x-5}

.

3.

f

 est la fonction définie sur 

\mathbb{R}

par

f(x)=\sqrt{x^4+2x^2+1}

.

4.

f

 est la fonction définie sur 

]-\infty\ ;\ 0[

par

f(x)=\left(4-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^8

.

Exercice 1 Application directe du tableau

Dans chacun des cas suivants, calculer

f'(x)

.

1.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{4x-1}

.

2.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(x^3-2x)^5

.

3.

f

 est la fonction définie sur

]-1\ ;\ 1[

par

f(x)=\sqrt{1-x^2}

.

4.

f

 est la fonction définie sur

]4\ ;\ +\infty[

par

f(x)=\displaystyle\frac{1}{(2x-8)^3}

.

Exercice 2Opérations sur la dérivation et composées

Dans chacun des cas suivants, calculer

f'(x)

.

1.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=5\text{e}^{3x}-6\text{e}^{2x}

.

2.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(2x+1)\text{e}^{-x}

.

3.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=x\sqrt{x^2+3}

.

4.

f

 est la fonction définie sur

\left]-\dfrac{7}{4}\ ;\ +\infty\right[

par

f(x)=\displaystyle\frac{5}{(4x+7)^2}

.

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction

f

 au point d'abscisse

a

.

1.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\displaystyle\frac{2}{1+3\text{e}^{-x}}

.

a=0

2.

f

 est définie sur

\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[

par

f(x)=\sqrt{2x-1}

.

a=5

3.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=3\text{e}^{x^2}-2\text{e}

.

a=-1

Pour chaque fonction

f

, déterminer l'expression de sa dérivée

f'

 ainsi que celle de sa dérivée seconde

f''

.

1.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=-5x^4+3x^2-9x+8

.

2.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(4x-5)\text{e}^{2x}

.

3.

f

 est définie sur

[0\ ;\ +\infty[

par

f(x)=\sqrt{2x+1}

.

4.

f

 est définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(3x^2+4)^{5}

.

Dans chacun des cas suivants, ondonne la courbe représentative

\mathscr{C}_f

 d'une fonction

f

définie sur un intervalle

I

. Étudier graphiquement la convexité de

f

sur

I

 et indiquer les éventuels points d'inflexion de la courbe

\mathscr{C}_f

.

1.2.

3.

Dans chacun des cas suivants, étudier algébriquement la convexité de la fonction

f

 sur son ensemble de définition.

1.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=x^3-4x^2+5x-1

.

2.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=(2x-1)\text{e}^x

.

3.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\text{e}^{-x^2}

.

4.

f

 est la fonction définie sur

\mathbb{R}\backslash \left\{4\right\}

par

f(x)=\displaystyle\frac{3x-5}{x-4}

.

Exercice 1

On donne ci-dessous le tableau de variations de la dérivée

f'

 d'une fonction

f

 définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

1.Déterminer la convexité de la fonction

f

sur

\mathbb{R}

.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

Exercice 2

On donne ci-dessous le tableau de variations de la dérivée

f'

 d'une fonction

f

 définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

1.Déterminer la convexité de la fonction

f

sur

\mathbb{R}

.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

Exercice 1

On donne ci-dessous le tableau de signes de la dérivée seconde

f''

 d'une fonction

f

 définie et deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

.

1.Déterminer la convexité de la fonction

f

sur

\mathbb{R}

.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

Exercice 2

On donne ci-dessous le tableau de signes de la dérivée seconde

f''

 d'une fonction

f

 définie et deux fois dérivable sur

]-\infty\ ;\ 10]

.

1.Déterminer la convexité de la fonction

f

sur

\mathbb{R}

.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet-elle des points d'inflexion ?

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