Fonction partie entière

Propriété

Pour tout réel

x

, il existe un uniqueentier relatif

k

 tel que

k \leqslant x<k+1

Définitions

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

x

, l'uniqueentier relatif

k

 tel que

k \leqslant x<k+1

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction, qui à tout réel

x

 associe

\text{E}(x)

, est appeléefonction partie entière.

Exemples

`\text{E}(3,7)=3\ ;\ \text{E}(\sqrt{2})=1 \ ;\ \text{E}(10)=10.`

\text{E}(-3,7)=-4\ ;\ \text{E}(-4,2)=-5 \ ;\ \text{E}(-2)=-2.

Propriété

Soit

k

 un entier relatif, alors pour tout réel

x \in [k\ ;\ k+1[

, on a

text{E}(x)=k

.
Onobtient ainsila courbe représentative de la fonction partie entière.

Propriété

\lim\limits_{x \to -\infty}\text{E}(x)=-\infty

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{E}(x)=+\infty

.

Démonstration

Pour tout réel

x,\ \text{E}(x) \leqslant x < \text{E}(x)+1

. (*)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Limite en

\boldsymbol{-\infty}

De l'inégalité (*), on déduit que, pour tout réel

x,\ \text{E}(x) \leqslant x

.

\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\infty

 donc, d'après le théorème de comparaison,

\lim\limits_{x \to -\infty}\text{E}(x)=-\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Limite en

\boldsymbol{+\infty}

De l'inégalité (*), on déduit que, pour tout réel

x,\ x-1<\text{E}(x)

.

\lim\limits_{x \to +\infty}x-1=+\infty

 donc, d'après le théorème de comparaison,

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{E}(x)=+\infty

.

Remarques 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

a

 n'appartenant pas à

\mathbb{Z}

, la fonction partie entière est continue en

a

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout entier relatif 

k

, la fonction partie entière présente une discontinuité en

k

.Cependant,

\lim\limits_{\substack{x \to k \\ x>k}}\text{E}(x)=k=\text{E}(k)

.On dit alors que la fonction partie entière est continue à droite en

k

.

Propriété

La fonction partie entière est continue sur tout intervalle du type

]k \ ; \ k+1[

où

k

 est un entier relatif, maisellen'est pas continue sur

\mathbb{R}

.

Généralités