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Fonction partie entière

, il existe un uniqueentier relatif

Sommaire

GénéralitésLimites aux bornesÉtude de la continuité

Généralités

Propriété
Pour tout réel
xxx
, il existe un uniqueentier relatif
kkk
 tel que
k⩽x<k+1k \leqslant x<k+1k⩽x<k+1
Définitions
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel
xxx
, l'uniqueentier relatif
kkk
 tel que
k⩽x<k+1k \leqslant x<k+1k⩽x<k+1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction, qui à tout réel
xxx
 associe
E(x)\text{E}(x)E(x)
, est appeléefonction partie entière.
Exemples
`\text{E}(3,7)=3\ ;\ \text{E}(\sqrt{2})=1 \ ;\ \text{E}(10)=10.`
\text{E}(-3,7)=-4\ ;\ \text{E}(-4,2)=-5 \ ;\ \text{E}(-2)=-2.
Propriété
Soit
k
 un entier relatif, alors pour tout réel
x \in [k\ ;\ k+1[
, on a
text{E}(x)=k
.
Onobtient ainsila courbe représentative de la fonction partie entière.

Limites aux bornes

Propriété
lim⁡x→−∞E(x)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}\text{E}(x)=-\inftyx→−∞lim​E(x)=−∞
 et
lim⁡x→+∞E(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{E}(x)=+\inftyx→+∞lim​E(x)=+∞
.
Démonstration
Pour tout réel
x, E(x)⩽x<E(x)+1x,\ \text{E}(x) \leqslant x < \text{E}(x)+1x, E(x)⩽x<E(x)+1
. (*)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Limite en
−∞\boldsymbol{-\infty}−∞
De l'inégalité (*), on déduit que, pour tout réel
x, E(x)⩽xx,\ \text{E}(x) \leqslant xx, E(x)⩽x
.
lim⁡x→−∞x=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\inftyx→−∞lim​x=−∞
 donc, d'après le théorème de comparaison,
lim⁡x→−∞E(x)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}\text{E}(x)=-\inftyx→−∞lim​E(x)=−∞
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Limite en
+∞\boldsymbol{+\infty}+∞
De l'inégalité (*), on déduit que, pour tout réel
x, x−1<E(x)x,\ x-1<\text{E}(x)x, x−1<E(x)
.
lim⁡x→+∞x−1=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x-1=+\inftyx→+∞lim​x−1=+∞
 donc, d'après le théorème de comparaison,
lim⁡x→+∞E(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{E}(x)=+\inftyx→+∞lim​E(x)=+∞
.

Étude de la continuité

Remarques 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel
aaa
 n'appartenant pas à
Z\mathbb{Z}Z
, la fonction partie entière est continue en
aaa
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout entier relatif 
kkk
, la fonction partie entière présente une discontinuité en
kkk
.Cependant,
lim⁡x→kx>kE(x)=k=E(k)\lim\limits_{\substack{x \to k \\ x>k}}\text{E}(x)=k=\text{E}(k)x→kx>k​lim​E(x)=k=E(k)
.On dit alors que la fonction partie entière est continue à droite en
kkk
.
Propriété
La fonction partie entière est continue sur tout intervalle du type
]k ; k+1[]k \ ; \ k+1[]k ; k+1[
 où
kkk
 est un entier relatif, maisellen'est pas continue sur
R\mathbb{R}R
.