Propriété (admise)
On considère une fonction
définie sur un intervalle
et une suite
d’éléments de
.
Si
est continue sur
et si la suite
converge vers un réel
de l'intervalle \(I\), alors la suite
converge vers
.
Remarque
Cette propriété permet de chercher la valeur de la limite d'une suite définie par une relation de récurrence du type
, où
est une fonction continue. En effet, si on peut prouver que la suite
converge vers
, on peut alors, sous certaines conditions, affirmer que
doit être une solution de l'équation
. Une solution de l'équation
est appelée un point fixe de la fonction
.
☛ Convergence d'une suite
Énoncé
On considère la suite
définie par
et, pour toutentier naturel \(n\),
On admet que, pour tout entier naturel
,
.
Montrer que la suite
converge et déterminer sa limite.
Solution
La suite
est croissante et majorée par
donc elle converge vers un réel
.
et
donc par composée
.
La fonction
est continue sur
donc
.
Les suites
et
étant égales, par unicité de la limite, on peut affirmer que
.
En particulier,
.
Comme
,
car
Ainsi
.