Continuité et suites

Propriété (admise)

On considère une fonction 

f

définie sur un intervalle 

I

et une suite 

(u_n)

d’éléments de

I

.
Si 

f

est continue sur 

I

et si la suite 

(u_n)

converge vers un réel

\ell

de l'intervalle \(I\), alors la suite

(f(u_n))

converge vers

f(\ell)

.

Remarque

Cette propriété permet de chercher la valeur de la limite d'une suite définie par une relation de récurrence du type

u_{n+1}=f(u_n)

, où

f

 est une fonction continue. En effet, si on peut prouver que la suite

(u_n)

 converge vers

\ell

, on peut alors, sous certaines conditions, affirmer que

\ell

 doit être une solution de l'équation

f(x)=x

. Une solution de l'équation

f(x)=x

 est appelée un point fixe de la fonction

f

.

☛ Convergence d'une suite

Énoncé

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=\displaystyle\frac{1}{2}

et, pour toutentier naturel \(n\),

u_{n+1}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}.

On admet que, pour tout entier naturel 

n

,

u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 3

.
Montrer que la suite 

(u_n)

converge et déterminer sa limite.

Solution

La suite 

(u_n)

est croissante et majorée par 

3

donc elle converge vers un réel

\ell

.

\lim\limits_{\color{green}{n \to +\infty}}(n+1)=\color{red}{+\infty}

et

\lim\limits_{\color{red}{N \to +\infty}}u_N=\color{blue}{\ell}

 donc par composée

\lim\limits_{\color{green}{n \to +\infty}}u_{n+1}=\color{blue}{\ell}

.
La fonction 

f:x\longmapsto \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}x^2+4}

est continue sur 

\mathbb{R}

donc

\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4}

.
Les suites

(u_{n+1})

et

\left(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}\right)

étant égales, par unicité de la limite, on peut affirmer que

\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4}

.
En particulier,

\ell>0

.
Comme

\ell>0

,

\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell^2=\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4

\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\ell^2=4

\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell^2=8

\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell=\sqrt{8}

car

\ell >0

\sqrt{8}=2\sqrt{2}

Ainsi

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=2\sqrt{2}

.