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Continuité et suites

On considère une fonction 

Sommaire

Image d'une suite convergente par une fonction continue☛ Convergence d'une suite

Image d'une suite convergente par une fonction continue

Propriété (admise)
On considère une fonction 
fff
définie sur un intervalle 
III
et une suite 
(un)(u_n)(un​)
d’éléments de
III
.
Si 
fff
est continue sur 
III
et si la suite 
(un)(u_n)(un​)
converge vers un réel
ℓ\ellℓ
de l'intervalle \(I\), alors la suite
(f(un))(f(u_n))(f(un​))
converge vers
f(ℓ)f(\ell)f(ℓ)
.
Remarque
Cette propriété permet de chercher la valeur de la limite d'une suite définie par une relation de récurrence du type
un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​)
, où
fff
 est une fonction continue. En effet, si on peut prouver que la suite
(un)(u_n)(un​)
 converge vers
ℓ\ellℓ
, on peut alors, sous certaines conditions, affirmer que
ℓ\ellℓ
 doit être une solution de l'équation
f(x)=xf(x)=xf(x)=x
. Une solution de l'équation
f(x)=xf(x)=xf(x)=x
 est appelée un point fixe de la fonction
fff
.

☛ Convergence d'une suite

Énoncé
On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie par
u0=12u_0=\displaystyle\frac{1}{2}u0​=21​
et, pour toutentier naturel \(n\),
un+1=12un2+4.u_{n+1}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}.un+1​=21​un2​+4​.
On admet que, pour tout entier naturel 
nnn
, 
un⩽un+1⩽3u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 3un​⩽un+1​⩽3
.
Montrer que la suite 
(un)(u_n)(un​)
converge et déterminer sa limite.
Solution
La suite 
(un)(u_n)(un​)
est croissante et majorée par 
333
donc elle converge vers un réel
ℓ\ellℓ
.
lim⁡n→+∞(n+1)=+∞\lim\limits_{\color{green}{n \to +\infty}}(n+1)=\color{red}{+\infty}n→+∞lim​(n+1)=+∞
 et
lim⁡N→+∞uN=ℓ\lim\limits_{\color{red}{N \to +\infty}}u_N=\color{blue}{\ell}N→+∞lim​uN​=ℓ
 donc par composée
lim⁡n→+∞un+1=ℓ\lim\limits_{\color{green}{n \to +\infty}}u_{n+1}=\color{blue}{\ell}n→+∞lim​un+1​=ℓ
.
La fonction 
f:x⟼12x2+4f:x\longmapsto \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}x^2+4}f:x⟼21​x2+4​
est continue sur 
R\mathbb{R}R
donc
lim⁡n→+∞12un2+4=12ℓ2+4\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4}n→+∞lim​21​un2​+4​=21​ℓ2+4​
.
Les suites
(un+1)(u_{n+1})(un+1​)
 et
(12un2+4)\left(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}\right)(21​un2​+4​)
étant égales, par unicité de la limite, on peut affirmer que
ℓ=12ℓ2+4\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4}ℓ=21​ℓ2+4​
.
En particulier,
ℓ>0\ell>0ℓ>0
.
Comme
ℓ>0\ell>0ℓ>0
,
ℓ=12ℓ2+4⟺ℓ2=12ℓ2+4\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell^2=\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4ℓ=21​ℓ2+4​⟺ℓ2=21​ℓ2+4
ℓ=12ℓ2+4⟺12ℓ2=4\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\ell^2=4ℓ=21​ℓ2+4​⟺21​ℓ2=4
ℓ=12ℓ2+4⟺ℓ2=8\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell^2=8ℓ=21​ℓ2+4​⟺ℓ2=8
ℓ=12ℓ2+4⟺ℓ=8\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell=\sqrt{8}ℓ=21​ℓ2+4​⟺ℓ=8​
 car
ℓ>0\ell >0ℓ>0
8=22\sqrt{8}=2\sqrt{2}8​=22​
Ainsi
lim⁡n→+∞un=22\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=2\sqrt{2}n→+∞lim​un​=22​
.