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Dans chacun des cas suivants, déterminer le ou les intervalles surlesquelsla fonction

Sommaire

Étudier graphiquement la continuitéÉtudier algébriquement la continuité (1)Étudier algébriquement la continuité (2)Nombre de solutions d'une équationLimite d'une suite définie par récurrenceReprésenter une fonction faisant intervenir la fonction partie entière

Étudier graphiquement la continuité

Dans chacun des cas suivants, déterminer le ou les intervalles surlesquelsla fonction
fff
 est continue.
1.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
.
2.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
.
3.
fff
 est définie sur
]−∞; 1[∪]1 ;+∞[]-\infty;\ 1[ \cup ]1\ ;+\infty[]−∞; 1[∪]1 ;+∞[
.
4.
fff
 est définie sur l'intervalle
[−2 ; 2][-2\ ;\ 2][−2 ; 2]
.

Étudier algébriquement la continuité (1)

On considère la fonction
fff
 définie sur \(\mathbb{R}\) par :
   {f(x)=−3x+4 si x⩽2 f(x)=2x−6 si x>2\ \ \ \begin{cases}f(x)=-3x+4\ \text{si}\ x\leqslant 2 \ \\f(x)=2x-6\ \text{si}\ x>2 \end{cases}   {f(x)=−3x+4 si x⩽2 f(x)=2x−6 si x>2​
1.Représenter graphiquement la fonction 
fff
.
2.La fonction
fff
 semble-t-elle continue sur
R\mathbb{R}R
 ?
3.Démontrer la conjecture précédente.

Étudier algébriquement la continuité (2)

On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par :
   {f(x)=x2−4 si x⩽−1 f(x)=−2x−5 si −1<x⩽2 f(x)=−x−7,6 si x>2\ \ \ \begin{cases}f(x)=x^2-4\ \text{si}\ x\leqslant -1\ \\f(x)=-2x-5\ \text{si}\ -1<x\leqslant2 \ \\f(x)=-\sqrt{x}-7,6\ \text{si}\ x>2 \end{cases}   ⎩⎨⎧​f(x)=x2−4 si x⩽−1 f(x)=−2x−5 si −1<x⩽2 f(x)=−x​−7,6 si x>2​
1.Sur quels intervalles peut-onaffirmer que la fonction
fff
 est continue ?
2. a. Déterminer\(\lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x<-1}}f(x)\) et
lim⁡x→−1x>−1f(x)\lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x>-1}}f(x)x→−1x>−1​lim​f(x)
.
    b.Conclure quant à la continuité de
fff
 en
−1-1−1
.
3.Étudier la continuité de
fff
 en
222
.

Nombre de solutions d'une équation

Exercice 1
On donne ci-dessous la tableau devariations d'une fonction
fff
 définie et continue sur
[−5 ; 7][-5\ ;\ 7][−5 ; 7]
.
Déterminer en justifiant le nombre de solutions sur 
[−5 ; 7][-5\ ;\ 7][−5 ; 7]
 de l'équation :
1.
f(x)=2f(x)=2f(x)=2
.
2.
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
.
3.
f(x)=6f(x)=6f(x)=6
.
Exercice 2
On donne ci-dessous la tableau devariationsd'une fonction
fff
 définie et continue sur
]−1 ;+∞[]-1\ ;+\infty[]−1 ;+∞[
.
Déterminer en justifiant le nombre de solutions sur 
]−1 ;+∞[]-1\ ;+\infty[]−1 ;+∞[
 de l'équation :
1.
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
.
2.
f(x)=10f(x)=10f(x)=10
.
3.
f(x)=−20f(x)=-20f(x)=−20
.

Limite d'une suite définie par récurrence

On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie par
u0=−2u_0=-2u0​=−2
 et, pour tout entier naturel
nnn
,
un+1=un+4u_{n+1}=\sqrt{u_n+4}un+1​=un​+4​
.
On admet que la suite est définie, croissante et majorée par
444
.
1.Montrer que la suite
(un)(u_n)(un​)
 converge vers un réel
ℓ\ellℓ
.
2.Montrer que le réel
ℓ\ellℓ
 est solution de l'équation
x+4=x\sqrt{x+4}=xx+4​=x
.
3.En déduire la valeur de
ℓ\ellℓ
.

Représenter une fonction faisant intervenir la fonction partie entière

Représenter graphiquement la fonction
fff
 définie sur
[−3 ; 3][-3\ ;\ 3][−3 ; 3]
 par
f(x)=(E(x))2f(x)=(\text{E}(x))^2f(x)=(E(x))2
, où
E\text{E}E
 désigne la fonction partie entière.