Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
1.On considère une fonction
continue sur l'intervalle
telle que :
On peut affirmer que :
a.la fonction
est croissante sur l’intervalle
.
b.la fonction
est positive sur l’intervalle
.
c.il existe au moins un nombre réel
dans l’intervalle
tel que
.
d.l’équation
admet exactement deux solutions dans l’intervalle
.
2.On considère la fonction
définie sur
par
. Le nombre de solutions sur
de l’équation
est égal à :a.0b.1c.2d.une infinité.
3.On considère la fonction
définie sur
par
. Le nombre de solutions de l’équation
sur
est :
a.0
b.1
c.2
d.3
Polynésie, septembre 2023
Partie A
On considère la fonction
définie sur
par
.
1.Déterminer les limites de
en
et en
.
2.On admet que
est deux fois dérivable sur
.
a.Démontrer que, pour tout
,
.b.En déduire les variations et le minimum de la fonction
sur
.c.Justifier que, pour tout
.d.En déduire que l’équation
admet une unique solution sur
.e.Donner une valeur arrondie à
de cette solution.
Partie B
On considère une fonction
, définie et dérivable sur
, ayant une expression de la forme
, où
et
sont deux réels.
Dans le repère orthonormé ci-après figurent :
• la courbe représentative
de la fonction
;
• les points
et
de coordonnées respectives
et
.
1.Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction
.
2.Sachant que la fonction
admet sur
une dérivée seconde d’expression
, valider ou non la conjecture précédente.
3.Déterminer une équation de la droite
.
4.Sachant que la droite
est tangente à la courbe représentative de la fonction
au point d’abscisse
, en déduire les valeurs de
et de
.
Métropole, mai 2022
Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie.
L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A - Étude du premier protocole
Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en
, par la fonction
définie sur l’intervalle
par
, où
désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.
1. a.On admet que la fonction
est dérivable sur l’intervalle
et on note
sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel
de
, on a :
.b.En déduire le tableau de variations de la fonction
sur l’intervalle
.c.Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
2. a.Montrer que l’équation
admet une unique solution sur l’intervalle
notée
, dont on donnera une valeur approchée à
près.
On admet que l’équation
admet une unique solution sur l’intervalle
, notée
, et qu’une valeur approchée de
à
près est
.b.On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à
. Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
Partie B - Étude du deuxième protocole
Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de
mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de
mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que, lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de
par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l’aide de la suite
où, pour tout entier naturel
,
désigne la quantité de médicament, exprimée en
, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la
heure. On a donc
.
1.Calculer, selon cette modélisation, la quantité
de médicament (en
) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.
2.Justifier que, pour tout entier naturel
, on a :
.
3. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
, on a :
.b.En déduire que la suite
est convergente. On note
sa limite.c.Déterminer la valeur de
. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
4.On considère la suite
définie, pour tout entier naturel
, par
.a.Montrer que la suite
est une suite géométrique de raison
dont on précisera le premier terme. b.Déterminer l’expression de
en fonction de
, puis de
en fonction de
.c.Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à
mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.
Amérique du Nord, mai 2022
Partie A
Soit
la fonction définie sur l’intervalle
par :
.
1.Déterminer les variations de la fonction
sur l’intervalle
.
2.Justifier que l’équation
admet dans l’intervalle
une unique solution qui sera notée
.
3.Déterminer une valeur approchée du réel
au dixième près.
4.Donner le tableau de signes de la fonction
sur l’intervalle
.
Partie B
Soit
la fonction définie sur l’intervalle
par :
.
On note
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. a.Déterminer la dérivée de la fonction
sur l’intervalle
.
b.Justifier que la courbe
admet une tangente horizontale au point d’abscisse
.
2.Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe
comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
a.D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
b.On admet que la fonction
, dérivée seconde de la fonction
, a pour expression pour tout réel
de l’intervalle
:
où
est la fonction définie dans la partie
. En utilisant l’expression précédente de
, répondre à la question : « Le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
Métropole, septembre 2021
Partie I
On considère la fonction
définie sur
par :
.
On appelle
la courbe représentative de la fonction
dans un repère orthonormé
.
1.Déterminer les limites de la fonction
en
et en
.
2.Étudier le sens de variation de la fonction
sur
et dresser son tableau de variations.
3.Montrer que l’équation
admet une unique solution
sur
, dont on donnera une valeur approchée à
près.
4.Déduire des questions précédentes le signe de
suivant les valeurs de
.
Partie II
Dans le repère orthonormé
, on appelle
la courbe représentative de la fonction
définie sur
par :
.
La courbe
et la courbe
(qui représente la fonction
de la Partie I) sont tracées sur le graphique ci-dessous.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe
le plus proche de l’origine
du repère et d’étudier la tangente à
en ce point.
1.Pour tout nombre réel
, on note
le point de coordonnées
de la courbe
.
On considère la fonction
qui, au nombre réel
, associe la distance
.
On a donc :
, c’est-à-dire :
. a. Montrer que, pour tout nombre réel
, \(h^\prime(t)=\dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+\mathrm{e}^{-2t}}}\) où
désigne la fonction étudiée dans la Partie I.b.Démontrer que le point
de coordonnées
est le point de la courbe
pour lequel la longueur
est minimale. Placer ce point sur le graphique.
2.On appelle
la tangente en
à la courbe
.
a.Exprimer en fonction de
le coefficient directeur de la tangente
.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite
est égal à
.
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration : dans un repère orthonormé du plan, deux droites \(D\)et \(D^\prime\)de coefficients directeurs respectifs\(m\) et \(m^\prime\)sont perpendiculaires si, et seulement si le produit \(mm^\prime\)est égal à\(-1\).
b.Démontrer que la droite
et la tangente
sont perpendiculaires. Tracer ces droites sur le graphique.