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Les perles du BAC

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Sommaire

QCMPolynésie, septembre 2023Métropole, mai 2022Amérique du Nord, mai 2022Métropole, septembre 2021

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
1.On considère une fonction 
hhh
continue sur l'intervalle
[−2;4][-2; 4][−2;4]
telle que :
h(−1)=0, h(1)=4, h(3)=−1.h(-1) = 0,\ h(1) = 4,\ h(3) = -1.h(−1)=0, h(1)=4, h(3)=−1.
 On peut affirmer que :
    a.la fonction 
hhh
est croissante sur l’intervalle
[−1;1][-1 ; 1][−1;1]
.
    b.la fonction 
hhh
est positive sur l’intervalle
[−1;1][-1 ; 1][−1;1]
.
    c.il existe au moins un nombre réel 
aaa
dans l’intervalle
[1;3][1 ; 3][1;3]
tel que
h(a)=1h(a) = 1h(a)=1
.
    d.l’équation
h(x)=1h(x) = 1h(x)=1
admet exactement deux solutions dans l’intervalle
[−2;4][-2 ; 4][−2;4]
.
2.On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=2xexf (x) = 2x \text{e}^xf(x)=2xex
. Le nombre de solutions sur 
R\mathbb{R}R
de l’équation
f(x)=−73100f (x) = -\displaystyle\frac{73}{100}f(x)=−10073​
est égal à :a.0b.1c.2d.une infinité.
3.On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=x3−0,9x2−0,1xf (x) = x^3 -0,9x^2 -0,1xf(x)=x3−0,9x2−0,1x
. Le nombre de solutions de l’équation
f(x)=0f (x) = 0f(x)=0
sur 
R\mathbb{R}R
est :
    a.0
    b.1
    c.2
    d.3

Polynésie, septembre 2023

Partie A
On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par 
f(x)=(x+12)e−x+xf(x)=\left(x+ \dfrac{1}{2} \right) \mathrm{e}^{-x}+xf(x)=(x+21​)e−x+x
.
1.Déterminer les limites de
fff
 en 
−∞-\infty−∞
et en
+∞+\infty+∞
.
2.On admet que 
fff
est deux fois dérivable sur
R\mathbb{R}R
.
    a.Démontrer que, pour tout
x∈Rx \in\mathbb{R}x∈R
, 
f′′(x)=(x−32)e−xf^{\prime{\prime}}(x)=\left( x-\dfrac{3}{2} \right)\mathrm{e}^{-x}f′′(x)=(x−23​)e−x
.b.En déduire les variations et le minimum de la fonction 
f′f^\primef′
sur
R\mathbb{R}R
.c.Justifier que, pour tout
x∈R,f′(x)>0x \in\mathbb{R},f^\prime (x) >0x∈R,f′(x)>0
.d.En déduire que l’équation 
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
admet une unique solution sur
R\mathbb{R}R
.e.Donner une valeur arrondie à 
10−310^{-3}10−3
de cette solution.
Partie B
On considère une fonction
hhh
, définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
, ayant une expression de la forme
h(x)=(ax+b)e−xh(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{-x}h(x)=(ax+b)e−x
, où 
aaa
et 
bbb
sont deux réels. 
Dans le repère orthonormé ci-après figurent :
    • la courbe représentative 
ChC_hCh​
de la fonction 
hhh
;
    • les points 
A\text AA
et 
B\text BB
de coordonnées respectives
(−2  ;−2,5)(-2\; ; -2, 5)(−2;−2,5)
et
(2  ;3,5)(2 \;; 3,5)(2;3,5)
.
1.Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction
hhh
.
2.Sachant que la fonction 
hhh
admet sur 
R\mathbb{R}R
une dérivée seconde d’expression 
h′′(x)=−32e−x+xe−xh^{\prime{\prime}}(x)=-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}h′′(x)=−23​e−x+xe−x
, valider ou non la conjecture précédente.
3.Déterminer une équation de la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
4.Sachant que la droite 
(AB)(\text A\text B)(AB)
est tangente à la courbe représentative de la fonction 
hhh
au point d’abscisse
000
, en déduire les valeurs de 
aaa
et de 
bbb
.

Métropole, mai 2022

Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie.
L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A - Étude du premier protocole
Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en
mgmgmg
, par la fonction 
fff
définie sur l’intervalle
[0;10][0 ; 10][0;10]
 par 
f(t)=3te−0,5t+1f(t) = 3t\text{e}^{-0,5t+1}f(t)=3te−0,5t+1
, où 
ttt
désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.
1. a.On admet que la fonction 
fff
est dérivable sur l’intervalle 
[0;10][0 ; 10][0;10]
et on note 
f′f^\primef′
sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel 
ttt
de
[0;10][0 ; 10][0;10]
, on a :
f′(t)=3(−0,5t+1)e−0,5t+1f^\prime(t)=3(-0,5t+1)\text{e}^{-0,5t+1}f′(t)=3(−0,5t+1)e−0,5t+1
.b.En déduire le tableau de variations de la fonction
fff
 sur l’intervalle
[0;10][0 ; 10][0;10]
.c.Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
2. a.Montrer que l’équation 
f(t)=5f(t)=5f(t)=5
admet une unique solution sur l’intervalle 
[0;2][0 ; 2][0;2]
notée
α\alphaα
, dont on donnera une valeur approchée à 
10−210^{-2}10−2
près. 
On admet que l’équation 
f(t)=5f(t)=5f(t)=5
admet une unique solution sur l’intervalle
[2;10][2 ; 10][2;10]
, notée
β\betaβ
, et qu’une valeur approchée de 
β\betaβ
à 
10−210^{-2}10−2
près est
3,463,463,46
.b.On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à
5  mg5\;mg5mg
. Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
Partie B - Étude du deuxième protocole
Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 
222
 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de
1,81,81,8
 mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que, lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 
30 %30\,\%30%
par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l’aide de la suite 
(un)(u_n)(un​)
où, pour tout entier naturel
nnn
, 
unu_nun​
 désigne la quantité de médicament, exprimée en
mgmgmg
, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la 
niemen^{ieme}nieme
heure. On a donc
u0=2u_0=2u0​=2
.
1.Calculer, selon cette modélisation, la quantité
u1u_1u1​
 de médicament (en
mgmgmg
) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.
2.Justifier que, pour tout entier naturel
nnn
, on a :
un+1=0,7un+1,8u_{n+1}=0,7u_n+1,8un+1​=0,7un​+1,8
.
3. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
nnn
, on a :
un⩽un+1<6u_n\leqslant u_{n+1}<6un​⩽un+1​<6
.b.En déduire que la suite 
(un)(u_n)(un​)
est convergente. On note 
ℓ\ellℓ
sa limite.c.Déterminer la valeur de
ℓ\ellℓ
. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
4.On considère la suite 
(vn)(v_n)(vn​)
 définie, pour tout entier naturel
nnn
, par
vn=6−unv_n=6-u_nvn​=6−un​
.a.Montrer que la suite 
(vn)(v_n)(vn​)
est une suite géométrique de raison 
0,70,70,7
dont on précisera le premier terme.  b.Déterminer l’expression de 
vnv_nvn​
en fonction de
nnn
, puis de 
unu_nun​
en fonction de
nnn
.c.Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à
5,55,55,5
 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.

Amérique du Nord, mai 2022

Partie A
Soit
ppp
 la fonction définie sur l’intervalle 
[−3  ;4][-3\; ; 4][−3;4]
par : 
p(x)=x3−3x2+5x+1p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1p(x)=x3−3x2+5x+1
.
1.Déterminer les variations de la fonction 
ppp
sur l’intervalle
[−3  ;4][-3\; ; 4][−3;4]
.
2.Justifier que l’équation
p(x)=0p(x) = 0p(x)=0
admet dans l’intervalle
[−3  ;4][-3 \;; 4][−3;4]
une unique solution qui sera notée
α\alphaα
.
3.Déterminer une valeur approchée du réel 
α\alphaα
au dixième près.
4.Donner le tableau de signes de la fonction 
ppp
sur l’intervalle
[−3  ;4][-3\; ; 4][−3;4]
.
Partie B
Soit 
fff
la fonction définie sur l’intervalle
[−3  ;4][-3\;; 4][−3;4]
par : 
f(x)=ex1+x2f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x^2}f(x)=1+x2ex​
.
On note 
CfC_fCf​
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. a.Déterminer la dérivée de la fonction 
fff
sur l’intervalle
[−3  ;4][-3\; ; 4][−3;4]
.
    b.Justifier que la courbe 
CfC_fCf​
admet une tangente horizontale au point d’abscisse
111
.
2.Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe
CfC_fCf​
 comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
    a.D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
    b.On admet que la fonction
f′′f^{\prime{\prime}}f′′
, dérivée seconde de la fonction
fff
, a pour expression pour tout réel 
xxx
de l’intervalle 
[−3  ;4][-3\;; 4][−3;4]
: 
f′′(x)=p(x)(x−1)ex(1+x2)3f^{\prime{\prime}}(x)=\dfrac{p(x)(x-1){e}^{x}}{(1+x^2)^3}f′′(x)=(1+x2)3p(x)(x−1)ex​
 où
ppp
est la fonction définie dans la partie
AAA
. En utilisant l’expression précédente de
f′′f^{\prime{\prime}}f′′
, répondre à la question : « Le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.

Métropole, septembre 2021

Partie I
On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par : 
f(x)=x−e−2xf(x) = x - \mathrm{e}^{-2x}f(x)=x−e−2x
.
On appelle 
Γ\GammaΓ
la courbe représentative de la fonction 
fff
dans un repère orthonormé
(O  ;i→,j→)(\text O\; ; \overrightarrow i, \overrightarrow j )(O;i,j​)
.
1.Déterminer les limites de la fonction 
fff
en 
−∞-\infty−∞
et en
+∞+\infty+∞
.
2.Étudier le sens de variation de la fonction
fff
 sur 
R\mathbb{R}R
et dresser son tableau de variations.
3.Montrer que l’équation 
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
admet une unique solution 
α\alphaα
sur
R\mathbb{R}R
, dont on donnera une valeur approchée à 
10−210^{-2}10−2
près.
4.Déduire des questions précédentes le signe de 
f(x)f(x)f(x)
suivant les valeurs de
xxx
.
Partie II
Dans le repère orthonormé
(O  ;i→,j→)(\text O\; ; \overrightarrow i, \overrightarrow j )(O;i,j​)
, on appelle 
CCC
la courbe représentative de la fonction 
ggg
définie sur 
R\mathbb{R}R
par : 
g(x)=e−xg(x)=\mathrm{e}^{-x}g(x)=e−x
.
La courbe 
CCC
et la courbe 
Γ\GammaΓ
(qui représente la fonction
fff
 de la Partie I) sont tracées sur le graphique ci-dessous.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe 
CCC
le plus proche de l’origine 
O\text OO
du repère et d’étudier la tangente à 
CCC
en ce point.
1.Pour tout nombre réel
ttt
, on note 
M\text MM
le point de coordonnées 
(t  ;e−t)(t\;;\mathrm{e}^{-t})(t;e−t)
de la courbe
CCC
. 
On considère la fonction 
hhh
qui, au nombre réel
ttt
, associe la distance
OM\text O\text MOM
. 
On a donc :
h(t)=OMh(t)=\text O\text Mh(t)=OM
, c’est-à-dire : 
h(t)=t2+e−2th(t)= \sqrt{t^2+\mathrm{e}^{-2t}}h(t)=t2+e−2t​
.    a. Montrer que, pour tout nombre réel
ttt
, \(h^\prime(t)=\dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+\mathrm{e}^{-2t}}}\) où 
fff
désigne la fonction étudiée dans la Partie I.b.Démontrer que le point 
A\text AA
de coordonnées 
(α  ;e−α)(\alpha\; ;\mathrm{e}^{-\alpha})(α;e−α)
est le point de la courbe 
CCC
pour lequel la longueur 
OM\text O\text MOM
est minimale. Placer ce point sur le graphique.
2.On appelle 
TTT
la tangente en 
A\text AA
à la courbe
CCC
.
    a.Exprimer en fonction de 
α\alphaα
le coefficient directeur de la tangente 
TTT
.
On rappelle que le coefficient directeur de la droite 
(OA)(\text O\text A)(OA)
est égal à 
e−αα\dfrac{\mathrm{e}^{-\alpha}}{\alpha}αe−α​
. 
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration : dans un repère orthonormé du plan, deux droites \(D\)et \(D^\prime\)de coefficients directeurs respectifs\(m\) et \(m^\prime\)sont perpendiculaires si, et seulement si le produit \(mm^\prime\)est égal à\(-1\).
    b.Démontrer que la droite 
(OA)(\text O\text A)(OA)
et la tangente 
TTT
sont perpendiculaires. Tracer ces droites sur le graphique.