Définition et premières propriétés

Propriété

Soit

a

 un réel strictement positif.
L'équation

\text{e}^x=a

admet une unique solution sur

\mathbb{R}

.

Démonstration

Soit

a

 un réel strictement positif.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur

\mathbb{R}

.

\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty

 donc

a \in ]\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x\ ;\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x[

.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation

\text{e}^x=a

 possède une unique solution sur

\mathbb{R}

.

Définition

Soit

a

 un réel strictement positif.
L'unique solution de l'équation 

\text{e}^x=a

est appeléelogarithme népérien de\(\boldsymbol{a}\)et est notée

\boldsymbol{\ln(a)}

.

Exemples

\ln(1)

 est la solution de l'équation

\text{e}^x=1

et

\text{e}^0=1

 donc

\boxed{\boldsymbol{\ln(1)=0}}

.

\ln(\text{e})

 est la solution de l'équation

\text{e}^x=\text{e}

et

\text{e}^1=\text{e}

 donc

\boxed{\boldsymbol{\ln(\boldsymbol{\text{e}})=1}}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'équation \(\text{e}^x=3\) admet une unique solution sur

\mathbb{R}

. Cette solution est notée

\ln(3)

.La calculatrice donne une valeur approchée de

\ln(3)

.

\ln(3)\approx 1{,}099

.

Remarque

La fonction exponentielle étant strictement positive sur

\mathbb{R}

, l'équation

\text{e}^x=a

 n'admet pas de solution réelle pour

a\leqslant 0

.

Propriété

Pour tout réel

x

 et pour tout réel \(y\)strictement positif, on a

\boldsymbol{\text{e}^x=y \Leftrightarrow x = \ln(y)}

.

Énoncé

Résoudre les équations suivantes.

1.

\text{e}^{x-4}=7

2.

\ln(x+6)=-1

Solution

1.L'équation est définie pour tout réel

x

.

7>0

, on peut donc appliquer la propriété énoncée ci-dessus.
Pour tout réel

x,

\ \text{e}^{x-4}=7 \Leftrightarrow x-4=\ln(7)

\ \text{e}^{x-4}=7 \Leftrightarrow x=4+\ln(7)

\mathscr{S}=\left\{4+\ln(7)\right\}

2.L'équation est définie si et seulement si

x+6>0

.

x+6>0 \Leftrightarrow x>-6

.
Pour tout réel

x>-6,

\ln(x+6)=-1 \Leftrightarrow x+6=\text{e}^{-1}

\ln(x+6)=-1 \Leftrightarrow x=\text{e}^{-1}-6

\mathscr{S}=\left\{\text{e}^{-1}-6\right\}

Définition

La fonction qui, à tout réel \(x\)strictement positif, associe

\ln(x)

 est appelée fonctionlogarithme népérienet est notée\(\boldsymbol{\ln}\).
La fonction logarithme népérien estainsi définie sur

]0\ ; +\infty[

.

Propriété

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

x

strictement positif, on a 

\boldsymbol{\text{e}^{\ln(x)}=x}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel

x

, on a 

\boldsymbol{\ln\left(\text{e}^x\right)=x}

.

On dit que la fonction

logarithme népérien est la fonctionréciproquede la fonction exponentielle.

Démonstration

On rappelle que, pour tout réel

a

 strictement positif,

\ln(\color{red}{a})

 est la solution de l'équation

\text{e}^x=\color{red}{a}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

x

 un réel strictement positif.

\ln(\color{red}{x})

 est la solution de l'équation, d'inconnue

\color{blue}{X}

,

\text{e}^\color{blue}{X}=\color{red}{x}

 donc

\text{e}^{\color{blue}{\ln(x)}}=\color{red}{x}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

x

 un réel.

\ln(\color{red}{\text{e}^x})

 est la solution de l'équation, d'inconnue

\color{blue}{X}

,

\text{e}^\color{blue}{X}=\color{red}{\text{e}^x}

.La solution de

\text{e}^X=\text{e}^x

est

X=x

 donc

\ln(\text{e}^x)=x

.

PropriétéRelation fonctionnelle

Pour tous réels

x

et

y

strictement positifs, on a

\boldsymbol{\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}

.

Démonstration

On rappelle que, pour tous réels

A

et

B

,

\text{e}^A=\text{e}^B \Leftrightarrow A=B

.
Soit

x

et

y

 deux réels strictement positifs.

\text{e}^{\ln (xy)} = xy

\text{e}^{\ln (xy)} = \text{e}^{\ln (x)}\times \text{e}^{\ln (y)}

car

x=\text{e}^{\ln(x)}

et

y=\text{e}^{\ln(y)}

\text{e}^{\ln (xy)} = \text{e}^{\ln (x)+\ln (y)}

 d'après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.Donc 

\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)

.

Propriétés algébriques

Pour tous réels

x

et

y

strictement positifs:

\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln(x)

\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout entier relatif

k

, on a

\ln(x^k)=k\ln(x)

\ln(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\ln(x)

Énoncé 1

Exprimer en fonction de

\ln(2)

et

\ln(3)

 les expressions suivantes.

A=\ln(12)

B=\ln\left(\dfrac{16\text{e}}{27}\right)

Solution

A=\ln(2^2 \times 3)

A=\ln(2^2)+\ln(3)

A=2\ln(2)+\ln(3)

B=\ln(16\text{e})-\ln(27)

B=\ln(16)+\ln(\text{e})-\ln(27)

B=\ln(2^4)+1-\ln(3^3)

B=4\ln(2)+1-3\ln(3)

B=4\ln(2)-3\ln(3)+1

Énoncé 2

Simplifier l'expression suivante : 

C=\ln(\sqrt{5}-1)+\ln(\sqrt{5}+1)

.

Solution

C=\ln\left[(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\right]

C=\ln\left(\sqrt{5}^2-1^2\right)

C=\ln(4)

C=\ln(2^2)

C=2\ln(2)

Définition de ln(a) pour a > 0