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Définition et premières propriétés

 un réel strictement positif.

Sommaire

Définition de ln(a) pour a > 0☛ Résolution d'équationsFonction lnPropriétés algébriques☛ Transformer des expressions

Définition de ln(a) pour a > 0

Propriété
Soit
a
 un réel strictement positif.
L'équation
\text{e}^x=a
admet une unique solution sur
R\mathbb{R}R
.
Démonstration
Soit
a
 un réel strictement positif.
    • La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur
\mathbb{R}
.
lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0x→−∞lim​ex=0
 et
lim⁡x→+∞ex=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\inftyx→+∞lim​ex=+∞
 donc
a∈]lim⁡x→−∞ex ;lim⁡x→+∞ex[a \in ]\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x\ ;\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x[a∈]x→−∞lim​ex ;x→+∞lim​ex[
.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation
\text{e}^x=a
 possède une unique solution sur
R\mathbb{R}R
.
Définition
Soit
a
 un réel strictement positif.
L'unique solution de l'équation 
\text{e}^x=a
est appeléelogarithme népérien de\(\boldsymbol{a}\)et est notée
ln⁡(a)\boldsymbol{\ln(a)}ln(a)
.
Exemples
ln⁡(1)\ln(1)ln(1)
 est la solution de l'équation
ex=1\text{e}^x=1ex=1
 et
\text{e}^0=1
 donc
ln⁡(1)=0\boxed{\boldsymbol{\ln(1)=0}}ln(1)=0​
.
ln⁡(e)\ln(\text{e})ln(e)
 est la solution de l'équation
ex=e\text{e}^x=\text{e}ex=e
 et
\text{e}^1=\text{e}
 donc
ln⁡(e)=1\boxed{\boldsymbol{\ln(\boldsymbol{\text{e}})=1}}ln(e)=1​
.
    • L'équation \(\text{e}^x=3\) admet une unique solution sur
R\mathbb{R}R
. Cette solution est notée
ln⁡(3)\ln(3)ln(3)
.La calculatrice donne une valeur approchée de
ln⁡(3)\ln(3)ln(3)
.
ln⁡(3)≈1,099\ln(3)\approx 1{,}099ln(3)≈1,099
.
Remarque
La fonction exponentielle étant strictement positive sur
R\mathbb{R}R
, l'équation
ex=a\text{e}^x=aex=a
 n'admet pas de solution réelle pour
a⩽0a\leqslant 0a⩽0
.

☛ Résolution d'équations

Propriété
Pour tout réel
xxx
 et pour tout réel \(y\)strictement positif, on a
ex=y⇔x=ln⁡(y)\boldsymbol{\text{e}^x=y \Leftrightarrow x = \ln(y)}ex=y⇔x=ln(y)
.
Énoncé
Résoudre les équations suivantes.
1.
ex−4=7\text{e}^{x-4}=7ex−4=7
2.
ln⁡(x+6)=−1\ln(x+6)=-1ln(x+6)=−1
Solution
1.L'équation est définie pour tout réel
xxx
.
7>07>07>0
, on peut donc appliquer la propriété énoncée ci-dessus.
Pour tout réel
x,x,x,
 ex−4=7⇔x−4=ln⁡(7)\ \text{e}^{x-4}=7 \Leftrightarrow x-4=\ln(7) ex−4=7⇔x−4=ln(7)
 ex−4=7⇔x=4+ln⁡(7)\ \text{e}^{x-4}=7 \Leftrightarrow x=4+\ln(7) ex−4=7⇔x=4+ln(7)
S={4+ln⁡(7)}\mathscr{S}=\left\{4+\ln(7)\right\}S={4+ln(7)}
2.L'équation est définie si et seulement si
x+6>0x+6>0x+6>0
.
x+6>0⇔x>−6x+6>0 \Leftrightarrow x>-6x+6>0⇔x>−6
.
Pour tout réel
x>−6,x>-6,x>−6,
ln⁡(x+6)=−1⇔x+6=e−1\ln(x+6)=-1 \Leftrightarrow x+6=\text{e}^{-1}ln(x+6)=−1⇔x+6=e−1
ln⁡(x+6)=−1⇔x=e−1−6\ln(x+6)=-1 \Leftrightarrow x=\text{e}^{-1}-6ln(x+6)=−1⇔x=e−1−6
S={e−1−6}\mathscr{S}=\left\{\text{e}^{-1}-6\right\}S={e−1−6}

Fonction ln

Définition
La fonction qui, à tout réel \(x\)strictement positif, associe
ln⁡(x)\ln(x)ln(x)
 est appelée fonctionlogarithme népérienet est notée\(\boldsymbol{\ln}\).
La fonction logarithme népérien estainsi définie sur
]0 ;+∞[]0\ ; +\infty[]0 ;+∞[
.
Propriété
    • Pour tout réel
xxx
strictement positif, on a 
eln⁡(x)=x\boldsymbol{\text{e}^{\ln(x)}=x}eln(x)=x
.
    • Pour tout réel
xxx
, on a 
ln⁡(ex)=x\boldsymbol{\ln\left(\text{e}^x\right)=x}ln(ex)=x
.
On dit que la fonction
logarithme népérien est la fonctionréciproquede la fonction exponentielle.
Démonstration
On rappelle que, pour tout réel
aaa
 strictement positif,
ln⁡(a)\ln(\color{red}{a})ln(a)
 est la solution de l'équation
ex=a\text{e}^x=\color{red}{a}ex=a
.
    • Soit
xxx
 un réel strictement positif.
ln⁡(x)\ln(\color{red}{x})ln(x)
 est la solution de l'équation, d'inconnue
X\color{blue}{X}X
,
\text{e}^\color{blue}{X}=\color{red}{x}
 donc
eln⁡(x)=x\text{e}^{\color{blue}{\ln(x)}}=\color{red}{x}eln(x)=x
.
    • Soit
xxx
 un réel.
ln⁡(ex)\ln(\color{red}{\text{e}^x})ln(ex)
 est la solution de l'équation, d'inconnue
X\color{blue}{X}X
,
\text{e}^\color{blue}{X}=\color{red}{\text{e}^x}
.La solution de
eX=ex\text{e}^X=\text{e}^xeX=ex
 est
X=xX=xX=x
 donc
ln⁡(ex)=x\ln(\text{e}^x)=xln(ex)=x
.

Propriétés algébriques

PropriétéRelation fonctionnelle
Pour tous réels
xxx
 et
yyy
strictement positifs, on a
ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\boldsymbol{\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}ln(xy)=ln(x)+ln(y)
.
Démonstration
On rappelle que, pour tous réels
AAA
 et
BBB
,
eA=eB⇔A=B\text{e}^A=\text{e}^B \Leftrightarrow A=BeA=eB⇔A=B
.
Soit
xxx
 et
yyy
 deux réels strictement positifs.
eln⁡(xy)=xy\text{e}^{\ln (xy)} = xyeln(xy)=xy
eln⁡(xy)=eln⁡(x)×eln⁡(y)\text{e}^{\ln (xy)} = \text{e}^{\ln (x)}\times \text{e}^{\ln (y)}eln(xy)=eln(x)×eln(y)
 car
x=eln⁡(x)x=\text{e}^{\ln(x)}x=eln(x)
 et
y=eln⁡(y)y=\text{e}^{\ln(y)}y=eln(y)
eln⁡(xy)=eln⁡(x)+ln⁡(y)\text{e}^{\ln (xy)} = \text{e}^{\ln (x)+\ln (y)}eln(xy)=eln(x)+ln(y)
 d'après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.Donc 
ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)ln(xy)=ln(x)+ln(y)
.
Propriétés algébriques
Pour tous réels
xxx
 et
yyy
strictement positifs:
ln⁡(1x)=−ln⁡(x)\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln(x)ln(x1​)=−ln(x)
ln⁡(xy)=ln⁡(x)−ln⁡(y)\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)ln(yx​)=ln(x)−ln(y)
    • Pour tout entier relatif
kkk
, on a
ln⁡(xk)=kln⁡(x)\ln(x^k)=k\ln(x)ln(xk)=kln(x)
ln⁡(x)=12ln⁡(x)\ln(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2}\ln(x)ln(x​)=21​ln(x)

☛ Transformer des expressions

Énoncé 1
Exprimer en fonction de
ln⁡(2)\ln(2)ln(2)
 et
ln⁡(3)\ln(3)ln(3)
 les expressions suivantes.
A=ln⁡(12)A=\ln(12)A=ln(12)
B=ln⁡(16e27)B=\ln\left(\dfrac{16\text{e}}{27}\right)B=ln(2716e​)
Solution
A=ln⁡(22×3)A=\ln(2^2 \times 3)A=ln(22×3)
A=ln⁡(22)+ln⁡(3)A=\ln(2^2)+\ln(3)A=ln(22)+ln(3)
A=2ln⁡(2)+ln⁡(3)A=2\ln(2)+\ln(3)A=2ln(2)+ln(3)
B=ln⁡(16e)−ln⁡(27)B=\ln(16\text{e})-\ln(27)B=ln(16e)−ln(27)
B=ln⁡(16)+ln⁡(e)−ln⁡(27)B=\ln(16)+\ln(\text{e})-\ln(27)B=ln(16)+ln(e)−ln(27)
B=ln⁡(24)+1−ln⁡(33)B=\ln(2^4)+1-\ln(3^3)B=ln(24)+1−ln(33)
B=4ln⁡(2)+1−3ln⁡(3)B=4\ln(2)+1-3\ln(3)B=4ln(2)+1−3ln(3)
B=4ln⁡(2)−3ln⁡(3)+1B=4\ln(2)-3\ln(3)+1B=4ln(2)−3ln(3)+1
Énoncé 2
Simplifier l'expression suivante : 
C=ln⁡(5−1)+ln⁡(5+1)C=\ln(\sqrt{5}-1)+\ln(\sqrt{5}+1)C=ln(5​−1)+ln(5​+1)
.
Solution
C=ln⁡[(5−1)(5+1)]C=\ln\left[(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\right]C=ln[(5​−1)(5​+1)]
C=ln⁡(52−12)C=\ln\left(\sqrt{5}^2-1^2\right)C=ln(5​2−12)
C=ln⁡(4)C=\ln(4)C=ln(4)
C=ln⁡(22)C=\ln(2^2)C=ln(22)
C=2ln⁡(2)C=2\ln(2)C=2ln(2)