Ln et composée

Théorème

Soit 

u

une fonctiondéfinie et dérivable sur un intervalle \(I\) telle que, pour tout réel

x \in I, \ u(x) > 0

.
Alors la fonction 

\ln(u)

 est dérivable sur 

I

et

(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}

.

Exemple

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\ln(x^2+5)

.
Pour tout réel

x,\ x^2+5>0

 donc

f

 est dérivable sur

\mathbb{R}

 et, pour tout réel

x,\ f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+5}

.

☛ Étude complète d'une fonction

Énoncé

On considère la fonction

f

 définie par

f(x)=\ln(2x-6)-x

.

1.Déterminer l'ensemble de définition

I

 de la fonction

f

.
2.Déterminer la limite de la fonction

f

en

3

.
On admet que

\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty

.
3.Étudier les variations de la fonction

f

sur

I

.
4.Dresser le tableau complet des variations de

f

sur

I

.

Solution
1.

f(x)

 existe si et seulement si

2x-6>0

.

2x-6>0 \Leftrightarrow x>3

.
L'ensemble de définition de la fonction

f

est

I=]3~;+\infty[

.

2.

\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}2x-6=0^+

et

\lim\limits_{\substack{X \to 0\\ X>0}}\ln(X)=-\infty

donc par composée

\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}\ln(2x-6)=-\infty

.

\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}-x=-3

 donc par somme

\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}f(x)=-\infty

.

3.

f

 est dérivable sur

I

 et, pour tout réel

x \in I

,

f'(x)=\dfrac{2}{2x-6}-1

f'(x)=\dfrac{2}{2x-6}-\dfrac{2x-6}{2x-6}

f'(x)=\dfrac{2-2x+6}{2x-6}

f'(x)=\dfrac{8-2x}{2x-6}

Pour tout réel

x \in I,\ 2x-6>0

 donc

f'(x)

 est du signe de

8-2x

.

8-2x=0 \Leftrightarrow x=4

.

f

 est croissante sur

]3~;~4]

 et décroissante sur

[4~;+\infty[

.

4.Le tableau de variations de 

f

 est le suivant.