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Ln et composée

une fonctiondéfinie et dérivable sur un intervalle \(I\) telle que, pour tout réel

Sommaire

Dérivée d'une fonction composée avec ln☛ Étude complète d'une fonction

Dérivée d'une fonction composée avec ln

Théorème
Soit 
uuu
une fonctiondéfinie et dérivable sur un intervalle \(I\) telle que, pour tout réel
x∈I, u(x)>0x \in I, \ u(x) > 0x∈I, u(x)>0
.
Alors la fonction 
ln⁡(u)\ln(u)ln(u)
 est dérivable sur 
III
et 
(ln⁡(u))′=u′u(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}(ln(u))′=uu′​
.
Exemple
On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=ln⁡(x2+5)f(x)=\ln(x^2+5)f(x)=ln(x2+5)
.
Pour tout réel
x, x2+5>0x,\ x^2+5>0x, x2+5>0
 donc
fff
 est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et, pour tout réel
x, f′(x)=2xx2+5x,\ f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+5}x, f′(x)=x2+52x​
.

☛ Étude complète d'une fonction

Énoncé
On considère la fonction
fff
 définie par
f(x)=ln⁡(2x−6)−xf(x)=\ln(2x-6)-xf(x)=ln(2x−6)−x
.
1.Déterminer l'ensemble de définition
III
 de la fonction
fff
.
2.Déterminer la limite de la fonction
fff
 en
333
.
On admet que
lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\inftyx→+∞lim​f(x)=−∞
.
3.Étudier les variations de la fonction
fff
 sur
III
.
4.Dresser le tableau complet des variations de
fff
 sur
III
.
Solution
1.
f(x)f(x)f(x)
 existe si et seulement si
2x−6>02x-6>02x−6>0
.
2x−6>0⇔x>32x-6>0 \Leftrightarrow x>32x−6>0⇔x>3
.
L'ensemble de définition de la fonction
fff
 est
I=]3 ;+∞[I=]3~;+\infty[I=]3 ;+∞[
.
2.
lim⁡x→3x>32x−6=0+\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}2x-6=0^+x→3x>3​lim​2x−6=0+
 et
lim⁡X→0X>0ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{\substack{X \to 0\\ X>0}}\ln(X)=-\inftyX→0X>0​lim​ln(X)=−∞
donc par composée
lim⁡x→3x>3ln⁡(2x−6)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}\ln(2x-6)=-\inftyx→3x>3​lim​ln(2x−6)=−∞
.
lim⁡x→3x>3−x=−3\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}-x=-3x→3x>3​lim​−x=−3
 donc par somme
lim⁡x→3x>3f(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x>3}}f(x)=-\inftyx→3x>3​lim​f(x)=−∞
.
3.
fff
 est dérivable sur
III
 et, pour tout réel
x∈Ix \in Ix∈I
,
f′(x)=22x−6−1f'(x)=\dfrac{2}{2x-6}-1f′(x)=2x−62​−1
f′(x)=22x−6−2x−62x−6f'(x)=\dfrac{2}{2x-6}-\dfrac{2x-6}{2x-6}f′(x)=2x−62​−2x−62x−6​
f′(x)=2−2x+62x−6f'(x)=\dfrac{2-2x+6}{2x-6}f′(x)=2x−62−2x+6​
f′(x)=8−2x2x−6f'(x)=\dfrac{8-2x}{2x-6}f′(x)=2x−68−2x​
Pour tout réel
x∈I, 2x−6>0x \in I,\ 2x-6>0x∈I, 2x−6>0
 donc
f′(x)f'(x)f′(x)
 est du signe de
8−2x8-2x8−2x
.
8−2x=0⇔x=48-2x=0 \Leftrightarrow x=48−2x=0⇔x=4
.
fff
 est croissante sur
]3 ; 4]]3~;~4]]3 ; 4]
 et décroissante sur
[4 ;+∞[[4~;+\infty[[4 ;+∞[
.
4.Le tableau de variations de 
fff
 est le suivant.