S'entraîner

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction

f

 définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

g=\ln\left(f\right)

.
2.Déterminer les limites de

g

 aux bornes de son ensemble de définition.
3.Déterminer les variations de la fonction

g

 sur son ensemble de définition.
4.Dresser le tableau complet de la fonction

g

 sur son ensemble de définition.
5.La courbe représentative de la fonction

g

 admet-elle des asymptotes ?

** Calculs de limites

Dans chacun des cas suivants,déterminer la limite de la fonction

f

 aux bornes de son ensemble de définition. En déduire l'éventuelle existence d'asymptotes à la courbe représentative de la fonction

f

.

1.

f

 définie sur

]0\ ;+\infty[

par

f(x)=3\ln(x)-2x

2.

f

 définie sur

]0\ ;+\infty[

par

f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{x}

3.

f

 définie sur

]0\ ;+\infty[

par

f(x)=3x^2-2x\ln(x)

4.

f

 définie sur

]0\ ;+\infty[

par

f(x)=\dfrac{\ln(x)}{\text{e}^x}

** Étude d'une fonction (2)

On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=x+\ln(1+\text{e}^{-3x})

.
On note

\mathscr{C}_f

 la courbe représentative de la fonction

f

 dans un repère orthonormal du plan, d'unité 1 centimètre.

1.Déterminer la limite de

f

en

+\infty

.
2. a.Démontrer que, pour tout réel

x

, on a

\ f(x)=-2x+\ln(1+\text{e}^{3x})

.
    b.En déduire la limite de

f

en

-\infty

.
3.Étudier les variations de la fonction

f

sur

\mathbb{R}

 et dresser le tableau complet des variations de 

f

sur

\mathbb{R}

.
4.On considère la droite

\Delta

 d'équation

y=-2x

.a.Étudier la position relative de

\mathscr{C}_f

et

\Delta

. (On pourra s'aider de la question2.a.)b.Soit

x

 un réel. On note

\text{M}

 le point de

\mathscr{C}_f

 d'abscisse

x

et

\text{P}

 celui de

\Delta

 d'abscisse

x

. Exprimer en fonction de

x

 la distance

\text{MP}

 et calculer sa limite lorsque

x

 tend vers

-\infty

. Que peut-on en déduire graphiquement ?c.On estime que

\text{M}

et

\text{P}

 sont indiscernables à l’œil nu dès lors que

\text{MP}

 est inférieure à 

0,02

cm. Pour quelle valeur minimale de

x

 peut-on discerner, à l’œil nu, les points

\text{M}

et

\text{P}

?

** Application du logarithme décimal

Exercice 1

Montrer que, pour tout réel

x

 strictement positif et pour tout entier relatif

k

, on a

\log(x)=k \Leftrightarrow x=10^k

.

Exercice 2

Le

\text{pH}

d’une solution aqueuse est défini par

\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]

où

[\text{H}_3\text{O}^+]

désigne la concentration en ions

\text{H}_3\text{O}^+

, exprimée en

\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}

.

1.Calculer le 

\text{pH}

correspondant àune concentration en ions\(\text{H}_3\text{O}^+\) égale à

3 \times 10^{-6}\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}

.
2.Calculer la concentration en ions 

\text{H}_3\text{O}^+

d’une solution dont le

\text{pH}

est égal à

7

.
Remarque : lorsque, à 25°C, le pH est proche de 7, on dit que la solution est neutre.
3.Comment varie le

\text{pH}

 lorsque la concentration en ions 

\text{H}_3\text{O}^+

 augmente ? Justifier par un argument mathématique.
4.Par combien faut-il multiplier la concentration en ions 

\text{H}_3\text{O}^+

pour que le

\text{pH}

 diminue de 3unités? Justifier par un calcul.

** Radioactivité

On s'intéresse à l'évolution d'une population de noyauxradioactifs.
Le nombre de noyaux présents à l'instant

t

 est donné par

N(t)=N_0\text{e}^{-\lambda t}

où

N_0

 est le nombre de noyaux radioactifs à

t=0

et

\lambda

 est une constante caractéristique de la population étudiée exprimée en

\text{s}^{-1}

.
Le temps

t

 est exprimé en secondes.

1.Étudier les variations de la fonction

N

sur

[0\ ;+\infty[

. Le résultat est-il surprenant ?
2. a.Déterminer la période de demi-vie, notée

T

,de cette population de noyaux radioactifs,c'est-à-dire la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux, initialement présents, se soient désintégrés.
    b.Montrer que, pour tout réel

t\geqslant 0

, on a 

N(t+T)=\dfrac{1}{2}N(t)

.
3.L'Agence nationale pour la gestion desdéchetsradioactifs (Andra) précise sur son site que
«Au bout de 10 périodes radioactives, seul 1 atome radioactif sur 1 000 subsiste ».
Justifier cette affirmation.

** En lien avec la SES

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de 

x

milliers de pièces est donné sur l’intervalle 

[1\ ;30]

par

B(x) = -0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln (x).

1. a.On admet que la fonction

B

 est deux fois dérivable sur

[1\ ;30]

. Montrer que, pour tout réel

x

 de l'intervalle

[1\ ;30]

, on a

B''(x)=-1+\dfrac{2}{x}

.
    b.Dresser le tableau complet des variations de

B'

sur

[1\ ;30]

.
2. a.Montrer que l'équation

B'(x)=0

 admet une unique solution

\alpha

sur

[1\ ;30]

 et donner une valeur approchée au millième de

\alpha

.
    b.Déterminer le signe de 

B'(x)

sur

[1\ ;30]

.
3. a.Dresser le tableau complet des variations de

B

sur

[1\ ;30]

.
    b.Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ?

** ln et suite (1)

On définit une suite 

(u_n)

de réels strictement positifs par 

u_0=1

et pour tout entier naturel 

n

,

ln (u_{n+1}) = \ln (u_n ) - 1

.

Montrer que

(u_n)

 est une suite géométrique dont on précisera la raison.

** ln et suite (2)

1.Soit 

f

la fonction définie sur

]0 \ ;+\infty[

par

f (x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)- x.

a.Déterminer les limites de la fonction 

f

en

0

et en

+\infty

.b.Montrer que la fonction 

f

est strictement décroissante sur

]0 \ ;+\infty[

.c.Montrer qu’il existe un unique réel 

\alpha

appartenant à 

]0 \ ;+\infty[

tel que

f(\alpha)=0

. Déterminer une valeur approchée de 

\alpha

à

10^{-3}

près.
2.Soit 

g

la fonction définie sur

]0 \ ;+\infty[

par

g(x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)

.
Soit

(u_n)

 la suite définie par

u_0 = 1,5

et, pour tout entier naturel

n,\ u_{n+1}=g(u_n)

.
On a représenté ci-dessous lacourbe représentative de la fonction 

g

notée

\mathscr{C}_g

 ainsi que la droite d’équation

y=x

.

a.Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite

(u_n)

.b.La suite

(u_n)

 semble-t-elle monotone ? Convergente ?
    c.On admet que la suite 

(u_n)

 est convergente vers un réel

\ell>0

. Montrer que

\ell=\alpha

.

** Constructions géométriques

Soit 

a

et

b

 deux nombres réels strictement positifs tels que

a<b

1. a.Déterminer l’équation réduite de la tangente 

(T)

au point 

\text{A}

à la courbe

\mathscr{C}

.
    b.Déterminer l’ordonnée du point d’intersection 

\text{P}

de

(T)

avec l’axe des ordonnées.
    c.Calculer la longueur

\text{PQ}

.
    d.En déduire une construction simple de

(T)

 à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.
2. a.On considère le point

\text{S}(0\ ;\ \ln(\sqrt{ab}))

. Montrer que le point

\text{S}

 est le milieu du segment

[\text{QR}]

.
   b.En déduire une construction du point

\text{M}(\sqrt{ab} \ ;\ 0)

.

S'entraîner

* Un résultat surprenant

* Équations et inéquations avec la fonction exponentielle

* Équations et inéquations avec la fonction ln

* Vrai ou faux ?

* Composée (1)

* Étude d'une fonction (1)

* Définition du logarithme décimal

** Composée (2)

** Calculs de limites

** Étude d'une fonction (2)

** Application du logarithme décimal

** Radioactivité

** En lien avec la SES

** ln et suite (1)

** ln et suite (2)

** Constructions géométriques

*** Étude d'une fonction (3)

*** Minimisation d'une distance

*** Étude d'une population d'hippopotames