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1.À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de

Sommaire

* Un résultat surprenant* Équations et inéquations avec la fonction exponentielle* Équations et inéquations avec la fonction ln* Vrai ou faux ?* Composée (1)* Étude d'une fonction (1)* Définition du logarithme décimal
** Composée (2)** Calculs de limites** Étude d'une fonction (2)** Application du logarithme décimal** Radioactivité** En lien avec la SES** ln et suite (1)
** ln et suite (2)
** Constructions géométriques
*** Étude d'une fonction (3)*** Minimisation d'une distance*** Étude d'une population d'hippopotames

* Un résultat surprenant

1.À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de
3ln⁡(2+1)+ln⁡(52−7)3\ln\left(\sqrt{2}+1\right)+\ln\left(5\sqrt{2}-7\right)3ln(2​+1)+ln(52​−7)
.
2.a.Développer
(2+1)3\left(\sqrt{2}+1\right)^3(2​+1)3
.b.Retrouver le résultat de la question 1 par un calcul.

* Équations et inéquations avec la fonction exponentielle

Exercice 1
Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
1.
e4x−2=5\text{e}^{4x-2}=5e4x−2=5
2.
ex2=4\text{e}^{x^2}=4ex2=4
3.
3e−2x−5=03\text{e}^{-2x}-5=03e−2x−5=0
4.
(e6x−3−2)(e−x−6)=0(\text{e}^{6x-3}-2)(\text{e}^{-x}-6)=0(e6x−3−2)(e−x−6)=0
5.
2e2x−13ex+6=02\text{e}^{2x}-13\text{e}^x+6=02e2x−13ex+6=0
Exercice 2
Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les inéquations suivantes.
1.
4−e3x⩾04-\text{e}^{3x}\geqslant 04−e3x⩾0
2.
10e4x−1⩾510\text{e}^{4x-1}\geqslant 510e4x−1⩾5
3.
8−3ex−1<18-3\text{e}^{x-1}<18−3ex−1<1
4.
(e2x−4)(e3−x−2)⩽0(\text{e}^{2x}-4)(\text{e}^{3-x}-2)\leqslant 0(e2x−4)(e3−x−2)⩽0

* Équations et inéquations avec la fonction ln

Exercice 1
Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les équations suivantes.
1.
ln⁡(3x+4)=7\ln(3x+4)=7ln(3x+4)=7
2.
ln⁡(7−x)+2=1\ln(7-x)+2=1ln(7−x)+2=1
3.
ln⁡(2x+5)+ln⁡(8−x)=0\ln(2x+5)+\ln(8-x)=0ln(2x+5)+ln(8−x)=0
4.
ln⁡(6x−2)+ln⁡(2x−1)=ln⁡(x)\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)ln(6x−2)+ln(2x−1)=ln(x)
5.
[ln⁡(x)]2−3ln⁡(x)−10=0\left[\ln(x)\right]^2-3\ln(x)-10=0[ln(x)]2−3ln(x)−10=0
Exercice 2
Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 les inéquations suivantes.
1.
ln⁡(4x−9)>0\ln(4x-9)>0ln(4x−9)>0
2.\(\ln\left(5-\dfrac{1}{2}x\right)-1\leqslant 0\)
3.
8−ln⁡(2x+6)⩽38-\ln(2x+6)\leqslant 38−ln(2x+6)⩽3
.
4.
(ln⁡(x)−1)(3−ln⁡(x))⩾0(\ln(x)-1)(3-\ln(x))\geqslant 0(ln(x)−1)(3−ln(x))⩾0

* Vrai ou faux ?

On considère la fonction
fff
 définie sur
]−12 ;+∞[]-\dfrac{1}{2}\ ;+\infty[]−21​ ;+∞[
 par
f(x)=2xln⁡(2x+1)f(x)=2x\ln(2x+1)f(x)=2xln(2x+1)
.
On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
Déterminer, en justifiant. si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
Affirmation 1 : « Le coefficient directeur de la tangente à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au point d'abscisse
12\dfrac{1}{2}21​
 est
1+ln⁡(4)1+\ln(4)1+ln(4)
. »
Affirmation 2 : «  
Cf\mathscr{C}_fCf​
 possède un unique point d'intersection avec la droite
D\mathscr{D}D
 d'équation
y=2xy=2xy=2x
. »

* Composée (1)

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction
fff
 définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
.
1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
g=ln⁡(f)g=\ln\left(f\right)g=ln(f)
.
2.Déterminer les limites de
ggg
 aux bornes de son ensemble de définition.
3.Déterminer les variations de la fonction
ggg
 sur son ensemble de définition.
4.Dresser le tableau complet de la fonction
ggg
 sur son ensemble de définition.
5.La courbe représentative de la fonction
ggg
 admet-elle des asymptotes ?

* Étude d'une fonction (1)

On considère la fonction
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=3x−xln⁡(x)f(x)=3x-x\ln(x)f(x)=3x−xln(x)
.
1.Déterminer les limites de
fff
 aux bornes de son ensemble de définition.
2. a.On admet que
fff
 est dérivable sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
. Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
.
    b.En déduire les variations de
fff
 sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
3.Dresser le tableau complet des variations de
fff
 sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.

* Définition du logarithme décimal

On définit la fonction logarithme décimal, notée log, par
log⁡(x)=ln⁡(x)ln⁡(10)\boldsymbol{\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}}log(x)=ln(10)ln(x)​
.
1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction log.
2. a.Calculer
log⁡(10)\log(10)log(10)
 et
log⁡(100)\log(100)log(100)
.
    b.Que peut-on conjecturer sur
log⁡(10k)\log(10^k)log(10k)
 pour
kkk
 entier relatif ? Démontrer cette conjecture.
3.La fonction
log⁡\loglog
 possède-t-elle les même propriétés algébriques que la fonction
ln⁡\lnln
 ? Justifier.
4. a.Déterminer les limites de la fonction
log⁡\loglog
 aux bornes de son ensemble de définition.
    b.Étudier les variations de la fonction
log⁡\loglog
 sur son ensemble de définition.

** Composée (2)

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
fff
 définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
.
1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
g=ln⁡(f)g=\ln\left(f\right)g=ln(f)
.
2.Déterminer les limites de
ggg
 aux bornes de son ensemble de définition.
3.Déterminer les variations de la fonction
ggg
 sur son ensemble de définition.
4.Dresser le tableau complet de la fonction
ggg
 sur son ensemble de définition.
5.La courbe représentative de la fonction
ggg
 admet-elle des asymptotes ?

** Calculs de limites

Dans chacun des cas suivants,déterminer la limite de la fonction
fff
 aux bornes de son ensemble de définition. En déduire l'éventuelle existence d'asymptotes à la courbe représentative de la fonction
fff
.
1.
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=3ln⁡(x)−2xf(x)=3\ln(x)-2xf(x)=3ln(x)−2x
2.
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=2ln⁡(x)xf(x)=\dfrac{2\ln(x)}{x}f(x)=x2ln(x)​
3. 
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=3x2−2xln⁡(x)f(x)=3x^2-2x\ln(x)f(x)=3x2−2xln(x)
4.
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=ln⁡(x)exf(x)=\dfrac{\ln(x)}{\text{e}^x}f(x)=exln(x)​

** Étude d'une fonction (2)

On considère la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=x+\ln(1+\text{e}^{-3x})
.
On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 la courbe représentative de la fonction
fff
 dans un repère orthonormal du plan, d'unité 1 centimètre.
1.Déterminer la limite de
f
 en
+\infty
.
2. a.Démontrer que, pour tout réel
x
, on a
\ f(x)=-2x+\ln(1+\text{e}^{3x})
.
    b.En déduire la limite de
f
 en
-\infty
.
3.Étudier les variations de la fonction
f
 sur
\mathbb{R}
 et dresser le tableau complet des variations de 
f
 sur
\mathbb{R}
.
4.On considère la droite
Δ\DeltaΔ
 d'équation
y=−2xy=-2xy=−2x
.a.Étudier la position relative de
Cf\mathscr{C}_fCf​
 et
Δ\DeltaΔ
. (On pourra s'aider de la question2.a.)b.Soit
xxx
 un réel. On note
M\text{M}M
 le point de
Cf\mathscr{C}_fCf​
 d'abscisse
xxx
 et
P\text{P}P
 celui de
Δ\DeltaΔ
 d'abscisse
xxx
. Exprimer en fonction de
xxx
 la distance
MP\text{MP}MP
 et calculer sa limite lorsque
xxx
 tend vers
−∞-\infty−∞
. Que peut-on en déduire graphiquement ?c.On estime que
M\text{M}M
 et
P\text{P}P
 sont indiscernables à l’œil nu dès lors que
MP\text{MP}MP
 est inférieure à 
0,020,020,02
cm. Pour quelle valeur minimale de
xxx
 peut-on discerner, à l’œil nu, les points
M\text{M}M
 et
P\text{P}P
 ?

** Application du logarithme décimal

Exercice 1
Montrer que, pour tout réel
xxx
 strictement positif et pour tout entier relatif
kkk
, on a
log⁡(x)=k⇔x=10k\log(x)=k \Leftrightarrow x=10^klog(x)=k⇔x=10k
.
Exercice 2
Le 
pH\text{pH}pH
d’une solution aqueuse est défini par
pH=−log⁡[H3O+]\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]pH=−log[H3​O+]
où 
[H3O+][\text{H}_3\text{O}^+][H3​O+]
désigne la concentration en ions
H3O+\text{H}_3\text{O}^+H3​O+
, exprimée en
mol⋅L−1\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}mol⋅L−1
.
1.Calculer le 
pH\text{pH}pH
correspondant àune concentration en ions\(\text{H}_3\text{O}^+\) égale à
3×10−6mol⋅L−13 \times 10^{-6}\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}3×10−6mol⋅L−1
.
2.Calculer la concentration en ions 
H3O+\text{H}_3\text{O}^+H3​O+
d’une solution dont le
pH\text{pH}pH
est égal à
777
.
Remarque : lorsque, à 25°C, le pH est proche de 7, on dit que la solution est neutre.
3.Comment varie le
pH\text{pH}pH
 lorsque la concentration en ions 
H3O+\text{H}_3\text{O}^+H3​O+
 augmente ? Justifier par un argument mathématique.
4.Par combien faut-il multiplier la concentration en ions 
H3O+\text{H}_3\text{O}^+H3​O+
pour que le
pH\text{pH}pH
 diminue de 3unités? Justifier par un calcul.

** Radioactivité

On s'intéresse à l'évolution d'une population de noyauxradioactifs.
Le nombre de noyaux présents à l'instant
ttt
 est donné par
N(t)=N0e−λtN(t)=N_0\text{e}^{-\lambda t}N(t)=N0​e−λt
 où
N0N_0N0​
 est le nombre de noyaux radioactifs à
t=0t=0t=0
 et
λ\lambdaλ
 est une constante caractéristique de la population étudiée exprimée en
s−1\text{s}^{-1}s−1
.
Le temps
ttt
 est exprimé en secondes.
1.Étudier les variations de la fonction
NNN
 sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
. Le résultat est-il surprenant ?
2. a.Déterminer la période de demi-vie, notée
TTT
,de cette population de noyaux radioactifs,c'est-à-dire la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux, initialement présents, se soient désintégrés.
    b.Montrer que, pour tout réel
t⩾0t\geqslant 0t⩾0
, on a 
N(t+T)=12N(t)N(t+T)=\dfrac{1}{2}N(t)N(t+T)=21​N(t)
.
3.L'Agence nationale pour la gestion desdéchetsradioactifs (Andra) précise sur son site que
«Au bout de 10 périodes radioactives, seul 1 atome radioactif sur 1 000 subsiste ».
Justifier cette affirmation.

** En lien avec la SES

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de 
xxx
milliers de pièces est donné sur l’intervalle 
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
par
B(x)=−0,5x2+6x−20+2xln⁡(x).B(x) = -0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln (x).B(x)=−0,5x2+6x−20+2xln(x).
1. a.On admet que la fonction
BBB
 est deux fois dérivable sur
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
. Montrer que, pour tout réel
xxx
 de l'intervalle
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
, on a
B′′(x)=−1+2xB''(x)=-1+\dfrac{2}{x}B′′(x)=−1+x2​
.
    b.Dresser le tableau complet des variations de
B′B'B′
 sur
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
.
2. a.Montrer que l'équation
B′(x)=0B'(x)=0B′(x)=0
 admet une unique solution
α\alphaα
 sur
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
 et donner une valeur approchée au millième de
α\alphaα
.
    b.Déterminer le signe de 
B′(x)B'(x)B′(x)
 sur
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
.
3. a.Dresser le tableau complet des variations de
BBB
 sur  
[1 ;30][1\ ;30][1 ;30]
.
    b.Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal ?

** ln et suite (1)

On définit une suite 
(un)(u_n)(un​)
de réels strictement positifs par 
u0=1u_0=1u0​=1
et pour tout entier naturel 
nnn
,
ln(un+1)=ln⁡(un)−1ln (u_{n+1}) = \ln (u_n ) - 1ln(un+1​)=ln(un​)−1
.
Montrer que
(un)(u_n)(un​)
 est une suite géométrique dont on précisera la raison.

** ln et suite (2)

1.Soit 
f
la fonction définie sur
]0 \ ;+\infty[
par
f(x)=ln⁡(1+1x)−x.f (x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)- x.f(x)=ln(1+x1​)−x.
a.Déterminer les limites de la fonction 
fff
en 
000
et en
+∞+\infty+∞
.b.Montrer que la fonction 
fff
est strictement décroissante sur
]0 \ ;+\infty[
.c.Montrer qu’il existe un unique réel 
α\alphaα
appartenant à 
]0 \ ;+\infty[
tel que
f(α)=0f(\alpha)=0f(α)=0
. Déterminer une valeur approchée de 
α\alphaα
à 
10−310^{-3}10−3
près.
2.Soit 
ggg
la fonction définie sur
]0 \ ;+\infty[
par
g(x)=ln⁡(1+1x)g(x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)g(x)=ln(1+x1​)
.
Soit
(un)(u_n)(un​)
 la suite définie par
u0=1,5u_0 = 1,5u0​=1,5
et, pour tout entier naturel
n, un+1=g(un)n,\ u_{n+1}=g(u_n)n, un+1​=g(un​)
.
On a représenté ci-dessous lacourbe représentative de la fonction 
ggg
notée
Cg\mathscr{C}_gCg​
 ainsi que la droite d’équation
y=xy=xy=x
.
a.Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite
(un)(u_n)(un​)
.b.La suite
(un)(u_n)(un​)
 semble-t-elle monotone ? Convergente ?
    c.On admet que la suite 
(un)(u_n)(un​)
 est convergente vers un réel
ℓ>0\ell>0ℓ>0
. Montrer que
ℓ=α\ell=\alphaℓ=α
.

** Constructions géométriques

Soit 
a
et
b
 deux nombres réels strictement positifs tels que
a<b
1. a.Déterminer l’équation réduite de la tangente 
(T)(T)(T)
au point 
A\text{A}A
à la courbe
C\mathscr{C}C
.
    b.Déterminer l’ordonnée du point d’intersection 
P\text{P}P
de
(T)(T)(T)
avec l’axe des ordonnées.
    c.Calculer la longueur
PQ\text{PQ}PQ
.
    d.En déduire une construction simple de
(T)(T)(T)
 à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.
2. a.On considère le point
S(0 ; ln⁡(ab))\text{S}(0\ ;\ \ln(\sqrt{ab}))S(0 ; ln(ab​))
. Montrer que le point
S\text{S}S
 est le milieu du segment
[QR][\text{QR}][QR]
.
   b.En déduire une construction du point
M(ab ; 0)\text{M}(\sqrt{ab} \ ;\ 0)M(ab​ ; 0)
.

*** Étude d'une fonction (3)

Soit 
fff
la fonction définie sur 
]0;+∞[]0;+\infty[]0;+∞[
par 
f(x)=ln⁡(x+1−1)f(x)=\ln\left(\sqrt{x+1}-1\right)f(x)=ln(x+1​−1)
. On note
CfC_fCf​
 sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1.Déterminer les limites de
fff
 en 
+∞+\infty+∞
et en 0. Que peut-on en déduire pour 
CfC_fCf​
?
2.En quel point la courbe
CfC_fCf​
 coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
3.Calculer la dérivée
f′f'f′
de la fonction\(f\). En déduire le tableau de variations de 
fff
.
4.En quel point la courbe
CfC_fCf​
admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation
y=xy=xy=x
 ?

*** Minimisation d'une distance

Partie 1 - Étude de signe d'une fonction
On désigne par 
fff
la fonction définie sur l’intervalle 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
par
f(x)=x2+4ln⁡x.f (x) = x^2 + 4\ln x.f(x)=x2+4lnx.
1.Déterminer le tableau de variations de la fonction 
fff
en précisant les limites de 
fff
en 
000
et en
+∞+\infty+∞
.
2.Démontrer que l’équation 
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
admet une unique solution
α\alphaα
 dans l’intervalle 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
3.En déduire le signe de
f(x)f (x)f(x)
 selon les valeurs du réel strictement positif 
xxx
.
Partie 2 - Un problème de distance
On appelle 
(Γ)(\Gamma)(Γ)
la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction 
φ\varphiφ
définie sur l’intervalle 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
par
φ(x)=2ln⁡(x)\varphi(x)=2\ln(x)φ(x)=2ln(x)
.
L’objectif de cette partie est de démontrer que, parmi les points de la courbe 
(Γ)(\Gamma)(Γ)
, il y en a un et un seul qui est plus proche de l’origine 
O\text{O}O
que tous les autres.
1.Soit 
M\text{M}M
un point de la courbe
(Γ)(\Gamma)(Γ)
 d'abscisse
xxx
. Exprimer la distance
OM\text{OM}OM
 en fonction de
xxx
.
2. a.Soit 
hhh
la fonction définie sur l’intervalle 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
par
h(x)=x2+4(ln⁡x)2h(x) = x^2 + 4(\ln x)^2h(x)=x2+4(lnx)2
. Étudier les variations de la fonction
hhh
 sur 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
    b.En déduire qu’il existe un unique point
A\text{A}A
 de la courbe 
(Γ)(\Gamma)(Γ)
tel que, pour tout point 
M\text{M}M
de
(Γ)(\Gamma)(Γ)
, distinct de
A\text{A}A
, on ait
OM>OA\text{OM} > \text{OA}OM>OA
.
3.Démontrer que la droite 
(OA)\text{(OA)}(OA)
est perpendiculaire à la tangente
(TA)(T_\text{A})(TA​)
à la courbe
(Γ)(\Gamma)(Γ)
au point
A\text{A}A
.

*** Étude d'une population d'hippopotames

On étudie l'évolution du nombre d'hippopotames dans un parc naturel, depuis l'année 2000.Cette évolution est modélisée par une fonction
fff
 définie sur
[0 ; +∞[[0\ ;\ +\infty[[0 ; +∞[
 par
f(t)=7 5001+749e−0,15tf(t)=\displaystyle\frac{7\ 500}{1+749\text{e}^{-0,15t}}f(t)=1+749e−0,15t7 500​
 où
ttt
 désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2000.
1.Calculer le nombre d'hippopotames présents dans le parc en 2000.
2.Étudier les variations de la fonction
fff
 sur l'intervalle
[0 ; +∞[[0\ ;\ +\infty[[0 ; +∞[
 et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3.Étudier la convexité de la fonction
fff
 sur
[0 ; +∞[[0\ ;\ +\infty[[0 ; +∞[
 et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Remarque
On retrouve ce type de fonction dans un modèle appelé «modèle de Verhulst ». Pierre-François Verhulst est un mathématicien belge du XIXe siècle ayant travaillé sur la dynamique des populations.