On considère la fonction
définie sur
par
.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite
définie par
et
pour tout entier naturel
.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction
définie sur
par
.
1.Déterminer la limite de la fonction
en
.
On admet que la limite de la fonction
en
est
.
2.Étudier les variations de la fonction
sur
.
3. a.Démontrer que, dans l’intervalle
, l’équation
admet une unique solution
.
b.Déterminer un encadrement de
d’amplitude
.
Partie B : Étude de la suite\(\boldsymbol{(u_n)}\)
On admet que la fonction
est strictement croissante sur
.
1.Soit
un nombre réel. Montrer que, si
, alors
.
2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
,
.
b.En déduire que la suite
converge.
Métropole, septembre 2023
Partie A
On définit sur l’intervalle
la fonction \(g\) par :
.
On admet que la fonction
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée.
1.Montrer que, pour
le signe de
est celui du trinôme du second degré
.
2.En déduire que la fonction
est strictement croissante sur
.
3.Montrer que l'équation
admet une unique solution sur l'intervalle
que l'on notera
.
4.On donne le tableau de signes de
sur l'intervalle
.
Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
Partie B
On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par :
.
On note
la courbe représentative de
dans un repère orthonormé.
1.On admet que la fonction
est deux fois dérivable sur
, on note
sa fonction dérivée,
sa fonction dérivée seconde et on admet que : pour tout nombre réel
.
Démontrer que, pour tout nombre réel
, on a :
, où
désigne la fonction étudiée dans la partie A.
2. a.Dresser le tableau de signes de la fonction
sur
. Justifier.b.Justifier que la courbe
admet un unique point d’inflexion
.
c.Étudier la convexité de la fonction
sur l’intervalle
. Justifier.
3. a.Calculer les limites de
aux bornes de son ensemble de définition.b.Montrer que
.
On rappelle que
est l’unique solution de l’équation
.c.Démontrer que
et en déduire le signe de
pour
appartenant à
.d.En déduire le tableau de variations complet de la fonction
sur
.
Asie, mars 2023
On considère la fonction
définie sur
par
.
On note
sa courbe représentative représentée ci-dessous.
Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique.
Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction
.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
On définit sur
la fonction
définie par
.
1.Déterminer
.
2.Montrer que
.
3.Montrer que
pour tout
.
4.Étudier le sens de variation de la fonction
sur
. Dresser le tableau des variations de la fonction
en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de
en
et
.
5.En déduire le signe de
sur
.
6.Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question
en posant
.
Partie B
1.Justifier que la fonction
est bien définie sur
.
2.La fonction dérivée de la fonction
est notée
. Justifier que
pour tout
.
3.Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse
.
4.Montrer que la fonction
est strictement croissante sur
.
5.Montrer que l’équation
admet une unique solution
sur
et déterminer une valeur approchée de
à
près.
Partie C
À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.
Métropole, mars 2023
On considère la fonction
définie sur
par
, où
désigne la fonction logarithme népérien.
On note
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
.
La courbe
est tracée ci-dessous.
1. a.Déterminer la limite de la fonction
en
.b.Déterminer la limite de la fonction
en
. Interpréter graphiquement ce résultat.c.On admet que la fonction
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée. Calculer
puis montrer que, pour tout nombre réel
,
.d.Dresser le tableau de variations complet de la fonction
sur
.
2.On note
la tangente à la courbe
en son point d’abscisse
.a.Déterminer une équation de la tangente
.b.Montrer que la fonction
est convexe sur
.c. En déduire que, pour tout nombre réel
, on a :
.
3.Pour tout nombre réel
différent de
, on note
et
les points de la courbe
d’abscisses respectives
et
. On a donc :
et
.a.Montrer que, pour tout nombre réel
, on a :
.b.En déduire que les droites
et
sont parallèles.
Asie, mai 2022
Soit
une fonction définie et dérivable sur
. On considère les points
et
.
On donne ci-dessous
la courbe représentative de
dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente
à la courbe
au point
.
Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1.Déterminer graphiquement les valeurs de
et
.
2.La fonction
est définie par l’expression
, où
et
sont des nombres réels positifs.a.Déterminer l’expression de
.b.Déterminer les valeurs de
et
à l’aide des résultats précédents.
Partie B
On admet que la fonction
est définie sur
par :
.
1.Montrer que
est une fonction paire.
2.Déterminer les limites de
en
et en
.
3.Déterminer l’expression de
. Étudier le sens de variation de la fonction
sur
. Dresser le tableau des variations de
en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de
en
et
.
4.À l’aide du tableau des variations de
, donner les valeurs du réel
pour lesquelles l’équation
admet deux solutions.
5.Résoudre l’équation
.
Partie C
On rappelle que la fonction
est définie sur
par
.
1.Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe
.
2.Montrer que, pour tout nombre réel
, on a :
.
3.En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction
est convexe.
Des QCM
Dans chacun des cas suivants, indiquer la bonne réponse parmi les propositions.
1.On considère la fonction
f
définie et dérivable sur
]0\ ;+\infty[
par
f (x) = x ln(x) − x + 1
.
Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de
f
?a.
\ln(x)
b.
c.
\ln(x)-2
d.
\ln(x)-1
2.La limite en
+\infty
de la fonction
f
définie sur l’intervalle
]0\ ;+\infty[
par
est égale à :
a.
b.
c.
-\infty
d.
0
3.On considère la fonction
f
définie pour tout réel
x
par
. Sur
, l’équation
:a.n'admet aucune solutionb.admet exactement une solutionc.admet exactement deux solutionsd.admet une infinité de solutions
4.Soit la fonction
définie, pour tout réel \(x\)strictement positif, par
. On note
sa courbe représentative dans un repère du plan.a.La fonction
est convexe sur
.b.La fonction
est concave sur
.c.La courbe
admet exactement un point d'inflexion sur
.d.La courbe
admet exactement deux points d'inflexion sur
.
5.La fonction
est définie sur :a.
b.
c.
d.
6.On considère la fonction
définie sur l’intervalle
par
. Pour tout réel
de l’intervalle
, on a :a.
b.
c.
d.
7.On note
l’équation suivante
d’inconnue le réel
.a.
est solution de
.b.
est solution de
.c.L’équation
admet une unique solution réelle.d.L’équation
admet deux solutions réelles.
8.On considère une suite
telle que, pour tout entier naturel
, on a
. On peut affirmer que :a.la suite
est croissante.b.la suite
est décroissante.c.la suite
n'est pas monotone.d.le sens de variation de la suite
dépend de
.