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Les perles du BAC

\(f (x) = \ln(2x + 3) − 1\)

Sommaire

Centres étrangers, mars 2023Métropole, septembre 2023Asie, mars 2023Métropole, mars 2023Asie, mai 2022Des QCM

Centres étrangers, mars 2023

On considère la fonction 
fff
définie sur 
]−1,5 ;+∞[]-1,5\ ;+\infty[]−1,5 ;+∞[
par
f(x)=ln⁡(2x+3)−1f (x) = \ln(2x + 3) - 1f(x)=ln(2x+3)−1
.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie par 
u0=0u_0 = 0u0​=0
 et
un+1=f(un)u_{n+1}=f (u_n )un+1​=f(un​)
pour tout entier naturel
nnn
.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction 
ggg
définie sur
]−1,5 ;+∞[]-1,5\ ;+\infty[]−1,5 ;+∞[
par
g(x)=f(x)−xg (x) = f (x) - xg(x)=f(x)−x
.
1.Déterminer la limite de la fonction 
ggg
en
−1,5-1,5−1,5
. 
On admet que la limite de la fonction 
ggg
en 
+∞+\infty+∞
est
−∞-\infty−∞
.
2.Étudier les variations de la fonction 
ggg
sur
]−1,5 ;+∞[]-1,5\ ;+\infty[]−1,5 ;+∞[
.
3. a.Démontrer que, dans l’intervalle
]−0,5 ;+∞[] - 0, 5~ ; +\infty []−0,5 ;+∞[
, l’équation
g(x)=0g (x) = 0g(x)=0
 admet une unique solution
α\alphaα
.
    b.Déterminer un encadrement de
α\alphaα
 d’amplitude
10−210^{-2}10−2
.
Partie B : Étude de la suite\(\boldsymbol{(u_n)}\)
On admet que la fonction 
fff
est strictement croissante sur 
]−1,5 ;+∞[]-1,5\ ;+\infty[]−1,5 ;+∞[
.
1.Soit 
xxx
un nombre réel. Montrer que, si
x∈[−1 ;α]x \in [-1 ~; \alpha]x∈[−1 ;α]
, alors
f(x)∈[−1 ;α]f (x) \in [-1~; \alpha]f(x)∈[−1 ;α]
.
2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 
nnn
,
−1⩽un⩽un+1⩽α-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha−1⩽un​⩽un+1​⩽α
.
    b.En déduire que la suite
(un)(u_n)(un​)
converge.

Métropole, septembre 2023

Partie A
On définit sur l’intervalle 
]0  ;+∞[]0\; ; +\infty[]0;+∞[
la fonction \(g\) par : 
g(x)=2x−1x2+ln⁡xg(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln xg(x)=x2​−x21​+lnx
.
On admet que la fonction 
ggg
 est dérivable sur
]0  ;+∞[=I]0\; ; +\infty[=I]0;+∞[=I
 et on note
g′g^{\prime}g′
 sa fonction dérivée.
1.Montrer que, pour 
x>0,x > 0,x>0,
le signe de
g′(x)g^{\prime}(x)g′(x)
 est celui du trinôme du second degré
(x2−2x+2)(x^2 - 2x + 2)(x2−2x+2)
.
2.En déduire que la fonction
ggg
 est strictement croissante sur
]0  ;+∞[]0\; ; +\infty[]0;+∞[
.
3.Montrer que l'équation 
g(x)=0g(x) = 0g(x)=0
admet une unique solution sur l'intervalle 
[0,5  ;1],[0{,}5\; ; 1],[0,5;1],
 que l'on notera
α\alphaα
.
4.On donne le tableau de signes de
ggg
 sur l'intervalle 
]0  ;+∞[=I]0\; ; +\infty[=I]0;+∞[=I
.
Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
Partie B
On considère la fonction 
fff
définie sur l'intervalle 
]0  ;+∞[=I]0\; ; +\infty[=I]0;+∞[=I
par :
f(x)=exln⁡xf(x) = \text{e}^x \ln xf(x)=exlnx
.
On note
CfC_fCf​
 la courbe représentative de
fff
 dans un repère orthonormé.
1.On admet que la fonction 
fff
est deux fois dérivable sur 
]0  ;+∞[]0 \;; +\infty[]0;+∞[
, on note 
f′f^{\prime}f′
sa fonction dérivée, 
f′′f^{\prime{\prime}}f′′
sa fonction dérivée seconde et on admet que : pour tout nombre réel 
x>0,f′(x)=ex(1x+ln⁡x)x>0, f^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x \left( \dfrac{1}{x} + \ln x\right)x>0,f′(x)=ex(x1​+lnx)
. 
Démontrer que, pour tout nombre réel
x>0x > 0x>0
, on a :
f′′(x)=ex×g(x)f^{\prime{\prime}}(x) = \text{e}^x\times g(x)f′′(x)=ex×g(x)
, où 
ggg
désigne la fonction étudiée dans la partie A.
2. a.Dresser le tableau de signes de la fonction 
f′′f^{\prime{\prime}}f′′
 sur
]0  ;+∞[]0 \;; +\infty[]0;+∞[
. Justifier.b.Justifier que la courbe 
CfC_fCf​
admet un unique point d’inflexion
A\text AA
.
    c.Étudier la convexité de la fonction 
fff
sur l’intervalle
]0  ;+∞[]0 \;; +\infty[]0;+∞[
. Justifier.
3. a.Calculer les limites de 
fff
aux bornes de son ensemble de définition.b.Montrer que
f′(α)=eαα2(1−α)f^{\prime}(\alpha) =\dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)f′(α)=α2eα​(1−α)
.
On rappelle que 
α\alphaα
est l’unique solution de l’équation
g(x)=0g(x) = 0g(x)=0
.c.Démontrer que 
f′(α)>0f^{\prime}(\alpha)>0f′(α)>0
et en déduire le signe de 
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)
pour 
xxx
appartenant à
]0  ;+∞[]0 \;; +\infty[]0;+∞[
.d.En déduire le tableau de variations complet de la fonction
fff
 sur
]0  ;+∞[]0 \;; +\infty[]0;+∞[
.

Asie, mars 2023

On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par 
f(x)=ln⁡(e2x−ex+1)f(x) = \ln\left( \mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x + 1\right)f(x)=ln(e2x−ex+1)
.
On note 
CfC_fCf​
sa courbe représentative représentée ci-dessous.
Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique.
1.  L’eˊquation  f(x)=2  semble admettre au moins une solution.2.  Le plus grand intervalle sur lequel la fonction  f  semble eˆtre croissante est  [−0,5  ;+∞[.3.  L’eˊquation de la tangente au point d’abscisse  x=0  semble eˆtre :  y=1,5x\begin{array}{|}\hline\textbf{1.}\;\text{L'équation}\; f(x) = 2\; \text{semble admettre au moins une solution.}\\\textbf{2.}\;\text{Le plus grand intervalle sur lequel la fonction}\;f\; \text{semble être croissante est}\; [-0, 5\; ; +\infty[.\\\textbf{3.}\;\text{L'équation de la tangente au point d'abscisse}\; x=0\;\text{semble être :}\; y=1,5 x\\\hline\end{array}1.L’eˊquationf(x)=2semble admettre au moins une solution.2.Le plus grand intervalle sur lequel la fonctionfsemble eˆtre croissante est[−0,5;+∞[.3.L’eˊquation de la tangente au point d’abscissex=0semble eˆtre :y=1,5x​​
Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction
fff
.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
On définit sur 
R\mathbb{R}R
la fonction 
ggg
définie par 
g(x)=e2x−ex+1g(x)= \mathrm{e}^{2x}-e^x+1g(x)=e2x−ex+1
.
1.Déterminer
lim⁡x→−∞g(x)\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)x→−∞lim​g(x)
.
2.Montrer que
lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\inftyx→+∞lim​g(x)=+∞
.
3.Montrer que
g′(x)=ex(2ex−1)g^{\prime}(x)= \mathrm{e}^{x}(2e^x-1)g′(x)=ex(2ex−1)
 pour tout
x∈Rx\in \mathbb{R}x∈R
.
4.Étudier le sens de variation de la fonction 
ggg
sur
R\mathbb{R}R
. Dresser le tableau des variations de la fonction 
ggg
en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de 
ggg
en 
−∞-\infty−∞
et
+∞+\infty+∞
.
5.En déduire le signe de 
ggg
sur
R\mathbb{R}R
.
6.Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 
555
en posant
X=exX= \mathrm{e}^xX=ex
.
Partie B
1.Justifier que la fonction 
fff
est bien définie sur
R\mathbb{R}R
.
2.La fonction dérivée de la fonction 
fff
est notée
f′f^{\prime}f′
. Justifier que 
f′(x)=g′(x)g(x)f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}f′(x)=g(x)g′(x)​
pour tout
x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
.
3.Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse
000
.
4.Montrer que la fonction 
fff
est strictement croissante sur
[−ln⁡(2)  ;+∞[[- \ln(2) \;; +\infty[[−ln(2);+∞[
.
5.Montrer que l’équation
f(x)=2f(x) = 2f(x)=2
 admet une unique solution 
α\alphaα
sur 
[−ln⁡(2)  ;+∞[[- \ln(2) \;; +\infty[[−ln(2);+∞[
et déterminer une valeur approchée de 
α\alphaα
à
10−210^{-2}10−2
 près.
Partie C
À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

Métropole, mars 2023

On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par 
f(x)=ln⁡ (1+e−x)f(x) = \ln\, (1 + \mathrm{e}^{-x})f(x)=ln(1+e−x)
, où 
ln⁡\lnln
désigne la fonction logarithme népérien.
On note 
CCC
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(O,i→j→)(\text O, \overrightarrow{i} \overrightarrow{j} )(O,ij​)
.
La courbe
CCC
 est tracée ci-dessous.
1. a.Déterminer la limite de la fonction 
fff
en
−∞-\infty−∞
.b.Déterminer la limite de la fonction 
fff
en
+∞+\infty+∞
. Interpréter graphiquement ce résultat.c.On admet que la fonction 
fff
est dérivable sur 
R\mathbb{R}R
et on note 
f′f^{\prime}f′
sa fonction dérivée. Calculer 
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)
puis montrer que, pour tout nombre réel
xxx
,
f′(x)=−11+exf^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}f′(x)=1+ex−1​
.d.Dresser le tableau de variations complet de la fonction 
fff
sur
R\mathbb{R}R
.
2.On note 
T0T_0T0​
la tangente à la courbe 
CCC
en son point d’abscisse
000
.a.Déterminer une équation de la tangente
T0T_0T0​
.b.Montrer que la fonction 
fff
est convexe sur
R\mathbb{R}R
.c. En déduire que, pour tout nombre réel
xxx
, on a : 
f(x)⩾−12x+ln⁡(2)f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2} x + \ln(2)f(x)⩾−21​x+ln(2)
.
3.Pour tout nombre réel 
aaa
différent de
000
, on note
Ma\text M_aMa​
 et 
Na\text N_aNa​
les points de la courbe 
CCC
d’abscisses respectives 
−a-a−a
et
aaa
. On a donc :
Ma(−a  ;  f(−a))\text M_a (-a \;;\; f(-a))Ma​(−a;f(−a))
et
Na(a  ;f(a))\text N_a (a \;; f(a))Na​(a;f(a))
.a.Montrer que, pour tout nombre réel
xxx
, on a :
f(x)−f(−x)=−xf(x) - f(-x) = -xf(x)−f(−x)=−x
.b.En déduire que les droites 
T0T_0T0​
et  
(MaNa)(\text M_a\text N_a)(Ma​Na​)
sont parallèles.

Asie, mai 2022

Soit 
fff
une fonction définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
. On considère les points
A(1  ;3)\text A(1\; ; 3)A(1;3)
et
B(3  ;5)\text B(3 \;; 5)B(3;5)
.
On donne ci-dessous 
CfC_fCf​
la courbe représentative de 
fff
dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente 
(AB)(\text A\text B)(AB)
à la courbe 
CfC_fCf​
au point
A\text AA
.
Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1.Déterminer graphiquement les valeurs de 
f(1)f(1)f(1)
et
f′(1)f^{\prime}(1)f′(1)
.
2.La fonction 
fff
est définie par l’expression
f(x)=ln⁡  (ax2+1)+bf(x) = \ln\; (ax^2 + 1)+bf(x)=ln(ax2+1)+b
, où 
aaa
et 
bbb
sont des nombres réels positifs.a.Déterminer l’expression de
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)
.b.Déterminer les valeurs de 
aaa
et 
bbb
à l’aide des résultats précédents.
Partie B
On admet que la fonction 
fff
est définie sur 
R\mathbb{R}R
par : 
f(x)=ln⁡  (x2+1)+3−ln⁡(2)f(x) = \ln\; (x^2 + 1) + 3 - \ln(2)f(x)=ln(x2+1)+3−ln(2)
.
1.Montrer que 
fff
est une fonction paire.
2.Déterminer les limites de 
fff
en 
+∞+\infty+∞
et en
−∞-\infty−∞
.
3.Déterminer l’expression de
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x)
. Étudier le sens de variation de la fonction 
fff
sur
R\mathbb{R}R
. Dresser le tableau des variations de 
fff
en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de 
fff
en 
−∞-\infty−∞
et
+∞+\infty+∞
.
4.À l’aide du tableau des variations de
fff
, donner les valeurs du réel 
kkk
pour lesquelles l’équation
f(x)=kf(x) = kf(x)=k
admet deux solutions.
5.Résoudre l’équation
f(x)=3+ln⁡2f(x) = 3 + \ln 2f(x)=3+ln2
.
Partie C
On rappelle que la fonction 
fff
est définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=ln⁡(x2+1)+3−ln⁡(2)f(x) = \ln (x^2 + 1) + 3 - \ln(2)f(x)=ln(x2+1)+3−ln(2)
.
1.Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe
CfC_fCf​
.
2.Montrer que, pour tout nombre réel
xxx
, on a :
f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f^{\prime{\prime}}(x) = \dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}f′′(x)=(x2+1)22(1−x2)​
.
3.En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction 
fff
est convexe.

Des QCM

Dans chacun des cas suivants, indiquer la bonne réponse parmi les propositions.
1.On considère la fonction 
f
définie et dérivable sur 
]0\ ;+\infty[
par
f (x) = x ln(x) − x + 1
.
Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de 
f
?a.
\ln(x)
b.
1x−1\dfrac{1}{x}-1x1​−1
c.
\ln(x)-2
d.
\ln(x)-1
2.La limite en 
+\infty
de la fonction 
f
définie sur l’intervalle 
]0\ ;+\infty[
par
f(x)=2ln⁡(x)3x2+1f (x) = \dfrac{2\ln (x)}{3x^2 + 1}f(x)=3x2+12ln(x)​
est égale à :
a.
23\dfrac{2}{3}32​
b.
+∞+\infty+∞
c.
-\infty
d.
0
3.On considère la fonction 
f
définie pour tout réel 
x
par
f(x)=ln⁡(1+x2)f (x) = \ln (1 + x^2 )f(x)=ln(1+x2)
. Sur
R\mathbb{R}R
, l’équation
f(x)=2022f (x) = 2022f(x)=2022
  :a.n'admet aucune solutionb.admet exactement une solutionc.admet exactement deux solutionsd.admet une infinité de solutions
4.Soit la fonction 
ggg
définie, pour tout réel \(x\)strictement positif, par
g(x)=xln⁡(x)−x2g (x) = x \ln(x) - x^2g(x)=xln(x)−x2
. On note
Cg\mathscr{C}_gCg​
sa courbe représentative dans un repère du plan.a.La fonction
ggg
 est convexe sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.b.La fonction
ggg
 est concave sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.c.La courbe
Cg\mathscr{C}_gCg​
admet exactement un point d'inflexion sur 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.d.La courbe
Cg\mathscr{C}_gCg​
admet exactement deux points d'inflexion sur 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
5.La fonction
x↦ln⁡(−x2−x+6)x \mapsto \ln (-x^2 - x + 6)x↦ln(−x2−x+6)
est définie sur :a.
]−3 ;2[] - 3\ ; 2[]−3 ;2[
b.
]−∞ ;6]] -\infty\ ; 6]]−∞ ;6]
c.
]0 ;+∞[]0 \ ;+\infty[]0 ;+∞[
d.
]2 ;+∞[]2 \ ; +\infty[]2 ;+∞[
6.On considère la fonction 
fff
définie sur l’intervalle 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
par
f(x)=4ln⁡(3x)f (x) = 4\ln(3x)f(x)=4ln(3x)
. Pour tout réel 
xxx
de l’intervalle 
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
, on a :a.
f(2x)=f(x)+ln⁡(24)f (2x) = f (x) + \ln(24)f(2x)=f(x)+ln(24)
b.
f(2x)=f(x)+ln⁡(16)f (2x) = f (x) + \ln(16)f(2x)=f(x)+ln(16)
c.
f(2x)=ln⁡(2)+f(x)f (2x) = \ln(2) + f (x)f(2x)=ln(2)+f(x)
d.
f(2x)=2f(x)f (2x) = 2f (x)f(2x)=2f(x)
7.On note 
(E)(E)(E)
l’équation suivante
ln⁡(x)+ln⁡(x−10)=ln⁡(3)+ln⁡(7)\ln(x) + \ln(x - 10) = \ln(3) + \ln(7)ln(x)+ln(x−10)=ln(3)+ln(7)
d’inconnue le réel
xxx
.a.
333
est solution de
(E)(E )(E)
.b.
5−465-\sqrt{46}5−46​
est solution de 
(E)(E )(E)
.c.L’équation 
(E)(E )(E)
 admet une unique solution réelle.d.L’équation 
(E)(E )(E)
 admet deux solutions réelles.
8.On considère une suite
(bn)(b_n)(bn​)
telle que, pour tout entier naturel
nnn
, on a  
bn+1=bn+ln⁡(2(bn)2+3)b_{n+1} = b_n + \ln\left( \dfrac{2}{(b_n )^2 + 3}\right)bn+1​=bn​+ln((bn​)2+32​)
. On peut affirmer que :a.la suite
(bn)(b_n )(bn​)
est croissante.b.la suite
(bn)(b_n )(bn​)
est décroissante.c.la suite
(bn)(b_n )(bn​)
n'est pas monotone.d.le sens de variation de la suite
(bn)(b_n )(bn​)
dépend de
b0b_0b0​
.