Équations différentielles à connaître

Propriété\(\)

Soit 

a

et

b

deux réels non nuls.
L'équation différentielle

y'=ay+b

admet uneuniquesolution particulièreconstante sur

\mathbb R

qui est la fonction\(x\longmapsto-\dfrac{b}{a}\).

Exemple

L'équation différentielle

y'=2y+3

a pour solution particulière sur

\mathbb R

la fonction constante

x\mapsto -\dfrac32

.

Énoncé

Soit 

a

et

b

deux réels non nuls. On s'intéresse à l'équation différentielle 

y'=ay+b

.
Déterminer une fonction constante solution sur

\mathbb R

de cette équation différentielle.

Solution

Soit

C

un réel. Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb R

par

f(x)=C

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout

x

réel, on a

f'(x)=0

.

0=a\times C+b \Leftrightarrow a\times C=-b \Leftrightarrow C=-\dfrac ba

.

La fonction constante définie sur

\mathbb R

par

f(x)=-\dfrac ba

est solution sur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay+b

.

Théorème

Soit 

a

et

b

deux réels non nuls.
Les solutionssur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay+b

sont les fonctions définies sur

\mathbb R

par

\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}}

, où

k\in\mathbb R

.

Démonstration

Soit 

a

et

b

deux réels non nuls. On s'intéresse aux solutionssur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay+b

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit 

f

 une solution sur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay+b

.

f

vérifie ainsi l'équation

f'=af+b

.Soit

f_0

la solution particulière de l'équation différentielle définie, pour tout réel

x

, par 

f_0(x)=-\dfrac ba

.

f_0

vérifie aussi

f_0'=af_0+b

.Alors on a

(f-f_0)'=(af+b)-(af_0+b)=a(f-f_0)

.Donc la fonction

f-f_0

est solution sur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay

.D'où, pour tout

x

réel, il existe un réel 

k

tel que

(f-f_0)(x)=k\text e^{ax}

.Ainsi, pour tout

x

réel,

f(x)=k\text e^{ax}+f_0(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Réciproquement, on vérifie que les fonctions définiessur

\mathbb R

et de la forme 

x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}

, où

k

est réel, sont solutions sur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay+b

.Soit

k

un réel. Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb R

par

f(x)= k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}

.Pour tout réel

x

, on a

f'(x)= ka\text e^{ax}

.Donc, pour touttout réel

x

, on a 

af(x)+b=a\left(k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}\right)+b=ak\text e^{ax}-b+b=f'(x)

.

Conclusion
Les fonctions définies sur

\mathbb R

et de la forme 

x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}

, où

k

est réel, sont les solutions sur

\mathbb R

de l'équation différentielle

y'=ay+b

.

Énoncé

1. Résoudresur

\mathbb R

l'équation différentielle

y'=3y+5

.
2.Résoudresur

\mathbb R

l'équation différentielle

2y'=-y+\dfrac12

.

Solution

1.Ici,

a=3

et

b=5

, donc les solutions sur

\mathbb R

 de cette équation différentielle sont de la forme 

x\mapsto k\text e^{3x}-\dfrac53

, où

k\in\mathbb R

.

2. On a

2y'=-y+\dfrac12 \Leftrightarrow y'=-\dfrac12y+\dfrac14

.
Ici,

a=-\dfrac12

et

b=\dfrac14

, donc les solutions sur

\mathbb R

 de cette équation différentielle sont de la forme

x\mapsto k\text e^{-\frac x2}+\dfrac12

, où

k\in\mathbb R

.

Propriété

Soit 

a

et

b

deux réels non nuls. On considère l'équation différentielle

y'=ay+b

.
Soit

x_0

et

y_0

deux réels.
L'équation différentielle admet, sur

\mathbb R

, uneunique solution

f

définie sur

\mathbb R

et vérifiant la condition initiale

f(x_0)=y_0

.

Énoncé

Soit 

(E)

l'équation différentielle

2y'+y=2

, où

y

est une fonction de la variable réelle

t

, définie et dérivable sur

\mathbb R

et

y'

sa fonction dérivée.

1.Résoudre sur

\mathbb R

l'équation

(E)

.
2.Déterminer la solution

f

sur

\mathbb R

de

(E)

vérifiant la condition initiale

f(0)=1

.

Solution

1. L'équation s'écrit

y'=-\dfrac12y+1

. On a 

a=-\dfrac12

et

b=1

.
Les solutions sur

\mathbb R

de l'équation

(E)

sont les fonctions définies sur 

\mathbb R

et de la forme

y(t)=k\text e^{-\frac t2}+2

, où

k\in\mathbb R

.

2. On cherche le réel

k

tel que

f(0)=1

.

f(0)=1 \Leftrightarrow k+2=1 \Leftrightarrow k=-1

.
Donc la solution de

(E)

vérifiant la condition initiale

f(0)=1

est la fonction définie sur

\mathbb R

par

f(t)=-\text e^{-\frac t2}+2

.

Propriété

Soit

a

un réel et

f

une fonction définie sur un intervalle

I

. 
On considère l'équation différentielle

y'=ay+f

.
Soit

g

une solution particulière, sur

I

, de cette équation différentielle.
Les solutions, sur

I

, de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur

I

et de la forme

\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}+g(x)}

, où

k \in \mathbb{R}

.

Énoncé

On considère l'équation différentielle

(E)

:

y'= -2y +8x+8

, où

y

est une fonction dérivable de la variable réelle

x

.

1.On considère l'équation différentielle

(E_0)

:

y'= -2y

, où

y

est une fonction dérivable de la variable réelle

x

. Déterminer toutes les solutions sur

\mathbb R

 de l'équation différentielle

(E_0)

.

2. La fonction

h

est définie sur

\mathbb R

par

h(x) = 4x+2

. On admet qu'elle est dérivable sur

\mathbb R

. Démontrer que la fonction 

h

est solution de l'équation différentielle

(E)

.

3. En déduire toutes les solutions sur 

\mathbb R

de l'équation différentielle

(E)

.

Solution

1.Les solutions, sur 

\mathbb R

, de l'équation 

(E_0)

sont les fonctions de la forme 

x\mapsto k\text e^{-2x}

, où

k

est un réel.

2.D'une part, pour tout réel

x

,

h'(x)=4

. D'autre part,pour tout réel

x

,

-2h(x)+8x+8=-2(4x+2)+8x+8=-8x-4+8x+8=4

.
Donc

h

est solution de

(E)

.

3.Par la propriété ci-dessus, les solutions sur

\mathbb R

de l'équation 

(E)

 sont de la forme

x\mapsto k\text e^{-2x} +4x+2

, où

k

est réel.

Équation différentielle y' = ay