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Équations différentielles à connaître

de l'équation différentielle 

Sommaire

Équation différentielle y' = ayEnsemble de solutions de y' = ay☛ Résoudre l'équation différentielle y'=ay
Équations différentielles y' = ay + b et y' = ay + fSolution particulière de y' = ay + b☛ Déterminer une solution particulière de y' = ay + bEnsemble de solutions de y' = ay + b☛ Déterminer l'ensemble des solutions de y' = ay + bUnicité de la solution de y' = ay + b vérifiant une condition initiale☛ Déterminer la solution de y' = ay + b avec une condition initialeRésolution de y' = ay + f à partir d'une solution particulière
☛ Résoudre y' = ay + f à partir d'une solution particulière

Équation différentielle y' = ay

Ensemble de solutions de y' = ay

Théorème
Soit
aaa
un réel non nul.
Les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle 
y′=ayy'=ayy′=ay
sont les fonctions définies sur
R\mathbb RR
et de la forme
x↦keax\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}}x↦keax​
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
. 
Démonstration
Soit
aaa
un réel non nul. On considère l'équation différentielle 
y′=ayy'=ayy′=ay
et on s'intéresse à ses solutions.
    • Soit
kkk
un réel. La fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
par
f:x↦keaxf: x\mapsto k\text e^{ax}f:x↦keax
est bien solution sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle. En effet, pour tout
xxx
réel, on a 
f′(x)=kaeax=a×keax=af(x)f'(x)=ka\text e^{ax} = a\times k\text e^{ax} = af(x)f′(x)=kaeax=a×keax=af(x)
.Ainsi, les fonctions de la forme
x↦keaxx\mapsto k\text e^{ax}x↦keax
où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
sont solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle.
    • Montrons que ce sont les seules. Soit
ggg
une solution sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle.On pose, pour tout
xxx
réel, 
z(x)=g(x)e−axz(x)=g(x)\text e^{-ax}z(x)=g(x)e−ax
.Montrons que
zzz
est une fonction constante sur
R\mathbb RR
.Pour tout
xxx
 réel, 
z′(x)=g′(x)eax−ag(x)e−ax=eax(g′(x)−ag(x))z'(x)=g'(x)\text e^{ax}-ag(x)\text e^{-ax}=\text e^{ax}(g'(x)-ag(x))z′(x)=g′(x)eax−ag(x)e−ax=eax(g′(x)−ag(x))
.Or
ggg
est une solutionsur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ayy'=ayy′=ay
, c'est-à-dire que, pour tout réel
xxx
on a 
g′(x)=ag(x)g'(x)=ag(x)g′(x)=ag(x)
soit
g′(x)−ag(x)=0g'(x)-ag(x)=0g′(x)−ag(x)=0
.Alors, pour tout
xxx
réel, 
z′(x)=0z'(x)=0z′(x)=0
.Donc il existe un réel 
kkk
tel que, pour tout réel 
xxx
, on a 
z(x)=kz(x)=kz(x)=k
.D'où, pour toutréel
xxx
, 
g(x)=keaxg(x)=k\text e^{ax}g(x)=keax
.
Conclusion
Les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle 
y′=ayy'=ayy′=ay
sont les fonctions définies sur
R\mathbb RR
et de la forme
x↦keaxx\mapsto k\text e^{ax}x↦keax
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Illustration du théorème dans le cas\(\boldsymbol{a<0}\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Illustration du théorème dans le cas\(\boldsymbol{a>0}\)
Remarques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
fff
et
ggg
sont deux fonctions solutions sur un intervalle
III
de l'équation différentielle
y′=ayy'=ayy′=ay
, alors la fonction
f+gf+gf+g
est également solution de cette équation différentielle.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit un réel
kkk
. Si 
fff
est une solution sur un intervalle
III
de l'équation différentielle
y′=ayy'=ayy′=ay
, alors la fonction
kfkfkf
 est également solution de cette équation différentielle.

☛ Résoudre l'équation différentielle y'=ay

Énoncé
1.Résoudre sur
R\mathbb RR
l'équation différentielle
y′=−y2y'=-\dfrac y2y′=−2y​
.
2. Résoudre sur
R\mathbb RR
l'équation différentielle
y′+4y=0y'+4y=0y′+4y=0
.
3.Résoudre sur
R\mathbb RR
l'équation différentielle 
3y′−y=03y'-y=03y′−y=0
.
Solution
1.Ici,
a=−12a=-\dfrac12a=−21​
, donc les solutionssur
R\mathbb RR
de cette équation sont les fonctions définies sur
R\mathbb RR
de la forme
x↦ke−x2x\mapsto k\text e^{-\frac x2}x↦ke−2x​
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.
2.
y′+4y=0⇔y′=−4yy'+4y=0 \Leftrightarrow y'=-4yy′+4y=0⇔y′=−4y
.
Ici,
a=−4a=-4a=−4
,donc les solutions sur
R\mathbb RR
de cette équation sont les fonctions définies sur
R\mathbb RR
de la forme
x↦ke−4xx\mapsto k\text e^{-4x}x↦ke−4x
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.
3.
3y′−y=0⇔y′=13y3y'-y=0 \Leftrightarrow y'=\dfrac13y3y′−y=0⇔y′=31​y
.Ici, \(a=\dfrac13\),donc les solutions sur
R\mathbb RR
de cette équation sont les fonctions définies sur
R\mathbb RR
de la forme  
x↦kex3x\mapsto k\text e^{\frac x3}x↦ke3x​
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.

Équations différentielles y' = ay + b et y' = ay + f

Solution particulière de y' = ay + b

Propriété\(\)
Soit 
aaa
et 
bbb
deux réels non nuls.
L'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
admet uneuniquesolution particulièreconstante sur
R\mathbb RR
qui est la fonction\(x\longmapsto-\dfrac{b}{a}\).
Exemple
L'équation différentielle
y′=2y+3y'=2y+3y′=2y+3
a pour solution particulière sur
R\mathbb RR
la fonction constante
x↦−32x\mapsto -\dfrac32x↦−23​
.

☛ Déterminer une solution particulière de y' = ay + b

Énoncé
Soit 
aaa
et 
bbb
deux réels non nuls. On s'intéresse à l'équation différentielle 
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.
Déterminer une fonction constante solution sur
R\mathbb RR
de cette équation différentielle.
Solution
Soit
CCC
un réel. Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=Cf(x)=Cf(x)=C
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout
xxx
réel, on a
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0
.
0=a×C+b⇔a×C=−b⇔C=−ba0=a\times C+b \Leftrightarrow a\times C=-b \Leftrightarrow C=-\dfrac ba0=a×C+b⇔a×C=−b⇔C=−ab​
.
La fonction constante définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=−baf(x)=-\dfrac baf(x)=−ab​
est solution sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.

Ensemble de solutions de y' = ay + b

Théorème
Soit 
aaa
et 
bbb
deux réels non nuls.
Les solutionssur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
sont les fonctions définies sur
R\mathbb RR
par
x↦keax−ba\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}}x↦keax−ab​​
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
. 
Démonstration
Soit 
aaa
et 
bbb
deux réels non nuls. On s'intéresse aux solutionssur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit 
fff
 une solution sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.
fff
vérifie ainsi l'équation
f′=af+bf'=af+bf′=af+b
.Soit
f0f_0f0​
la solution particulière de l'équation différentielle définie, pour tout réel
xxx
, par 
f0(x)=−baf_0(x)=-\dfrac baf0​(x)=−ab​
. 
f0f_0f0​
vérifie aussi
f0′=af0+bf_0'=af_0+bf0′​=af0​+b
.Alors on a
(f−f0)′=(af+b)−(af0+b)=a(f−f0)(f-f_0)'=(af+b)-(af_0+b)=a(f-f_0)(f−f0​)′=(af+b)−(af0​+b)=a(f−f0​)
.Donc la fonction
f−f0f-f_0f−f0​
est solution sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ayy'=ayy′=ay
.D'où, pour tout
xxx
réel, il existe un réel 
kkk
tel que
(f−f0)(x)=keax(f-f_0)(x)=k\text e^{ax}(f−f0​)(x)=keax
.Ainsi, pour tout
xxx
réel,
f(x)=keax+f0(x)f(x)=k\text e^{ax}+f_0(x)f(x)=keax+f0​(x)
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Réciproquement, on vérifie que les fonctions définiessur
R\mathbb RR
et de la forme 
x↦keax−bax\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}x↦keax−ab​
, où
kkk
est réel, sont solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.Soit
kkk
un réel. Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par 
f(x)=keax−baf(x)= k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}f(x)=keax−ab​
.Pour tout réel
xxx
, on a
f′(x)=kaeaxf'(x)= ka\text e^{ax}f′(x)=kaeax
.Donc, pour touttout réel
xxx
, on a 
af(x)+b=a(keax−ba)+b=akeax−b+b=f′(x)af(x)+b=a\left(k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}\right)+b=ak\text e^{ax}-b+b=f'(x)af(x)+b=a(keax−ab​)+b=akeax−b+b=f′(x)
.
Conclusion
Les fonctions définies sur
R\mathbb RR
et de la forme 
x↦keax−bax\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}x↦keax−ab​
, où
kkk
est réel, sont les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.

☛ Déterminer l'ensemble des solutions de y' = ay + b

Énoncé
1. Résoudresur
R\mathbb RR
l'équation différentielle
y′=3y+5y'=3y+5y′=3y+5
.
2.Résoudresur
R\mathbb RR
l'équation différentielle
2y′=−y+122y'=-y+\dfrac122y′=−y+21​
.
Solution
1.Ici,
a=3a=3a=3
et
b=5b=5b=5
, donc les solutions sur
R\mathbb RR
 de cette équation différentielle sont de la forme 
x↦ke3x−53x\mapsto k\text e^{3x}-\dfrac53x↦ke3x−35​
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.
2. On a
2y′=−y+12⇔y′=−12y+142y'=-y+\dfrac12 \Leftrightarrow y'=-\dfrac12y+\dfrac142y′=−y+21​⇔y′=−21​y+41​
.
Ici,
a=−12a=-\dfrac12a=−21​
et
b=14b=\dfrac14b=41​
, donc les solutions sur
R\mathbb RR
 de cette équation différentielle sont de la forme
x↦ke−x2+12x\mapsto k\text e^{-\frac x2}+\dfrac12x↦ke−2x​+21​
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.

Unicité de la solution de y' = ay + b vérifiant une condition initiale

Propriété
Soit 
aaa
et 
bbb
deux réels non nuls. On considère l'équation différentielle
y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
.
Soit
x0x_0x0​
et
y0y_0y0​
deux réels.
L'équation différentielle admet, sur
R\mathbb RR
, uneunique solution
fff
définie sur
R\mathbb RR
et vérifiant la condition initiale
f(x0)=y0f(x_0)=y_0f(x0​)=y0​
.

☛ Déterminer la solution de y' = ay + b avec une condition initiale

Énoncé
Soit 
(E)(E)(E)
l'équation différentielle
2y′+y=22y'+y=22y′+y=2
, où
yyy
est une fonction de la variable réelle
ttt
, définie et dérivable sur
R\mathbb RR
et
y′y'y′
sa fonction dérivée.
1.Résoudre sur
R\mathbb RR
l'équation
(E)(E)(E)
.
2.Déterminer la solution
fff
sur
R\mathbb RR
de
(E)(E)(E)
vérifiant la condition initiale
f(0)=1f(0)=1f(0)=1
.
Solution
1. L'équation s'écrit
y′=−12y+1y'=-\dfrac12y+1y′=−21​y+1
. On a 
a=−12a=-\dfrac12a=−21​
et
b=1b=1b=1
.
Les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation
(E)(E)(E)
sont les fonctions définies sur 
R\mathbb RR
et de la forme
y(t)=ke−t2+2y(t)=k\text e^{-\frac t2}+2y(t)=ke−2t​+2
, où
k∈Rk\in\mathbb Rk∈R
.
2. On cherche le réel
kkk
tel que
f(0)=1f(0)=1f(0)=1
.
f(0)=1⇔k+2=1⇔k=−1f(0)=1 \Leftrightarrow k+2=1 \Leftrightarrow k=-1f(0)=1⇔k+2=1⇔k=−1
.
Donc la solution de
(E)(E)(E)
vérifiant la condition initiale
f(0)=1f(0)=1f(0)=1
est la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(t)=−e−t2+2f(t)=-\text e^{-\frac t2}+2f(t)=−e−2t​+2
.

Résolution de y' = ay + f à partir d'une solution particulière

Propriété
Soit
aaa
un réel et
fff
une fonction définie sur un intervalle
III
. 
On considère l'équation différentielle
y′=ay+fy'=ay+fy′=ay+f
.
Soit
ggg
une solution particulière, sur
III
, de cette équation différentielle.
Les solutions, sur
III
, de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur
III
et de la forme
x↦keax+g(x)\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}+g(x)}x↦keax+g(x)​
, où
k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R
.

☛ Résoudre y' = ay + f à partir d'une solution particulière

Énoncé
On considère l'équation différentielle
(E)(E)(E)
:
y′=−2y+8x+8y'= -2y +8x+8y′=−2y+8x+8
, où
yyy
est une fonction dérivable de la variable réelle
xxx
.
1.On considère l'équation différentielle
(E0)(E_0)(E0​)
: 
y′=−2yy'= -2yy′=−2y
, où
yyy
est une fonction dérivable de la variable réelle
xxx
. Déterminer toutes les solutions sur
R\mathbb RR
 de l'équation différentielle
(E0)(E_0)(E0​)
.
2. La fonction
hhh
est définie sur
R\mathbb RR
par
h(x)=4x+2h(x) = 4x+2h(x)=4x+2
. On admet qu'elle est dérivable sur
R\mathbb RR
. Démontrer que la fonction 
hhh
est solution de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.
3. En déduire toutes les solutions sur 
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.
Solution
1.Les solutions, sur 
R\mathbb RR
, de l'équation 
(E0)(E_0)(E0​)
sont les fonctions de la forme 
x↦ke−2xx\mapsto k\text e^{-2x}x↦ke−2x
, où
kkk
est un réel.
2.D'une part, pour tout réel
xxx
,
h′(x)=4h'(x)=4h′(x)=4
. D'autre part,pour tout réel
xxx
,  
−2h(x)+8x+8=−2(4x+2)+8x+8=−8x−4+8x+8=4-2h(x)+8x+8=-2(4x+2)+8x+8=-8x-4+8x+8=4−2h(x)+8x+8=−2(4x+2)+8x+8=−8x−4+8x+8=4
.
Donc
hhh
est solution de
(E)(E)(E)
.
3.Par la propriété ci-dessus, les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation 
(E)(E)(E)
 sont de la forme
x↦ke−2x+4x+2x\mapsto k\text e^{-2x} +4x+2x↦ke−2x+4x+2
, où
kkk
est réel.