Dans les épisodes précédents

Définition

Dans un repère

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)

, soit

\text I(1~;~0)

,

\text J(0~;~1)

et

\text K(1~;~1)

.
On appelleunité d'aire, et onnote\(\)u.a., l'aire du rectangle

\mathrm{OIKJ}

.

Remarque

Soit un repère

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)

d'unités graphiques

3

 cm en abscisses et

4

cm en ordonnées. Alors, une unité d'aire est égale à

3\times 4 = 12

cm². On écrit

1

u.a. =

12

cm².

Exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit 

f

 la fonction définie sur 

[-3~;~5]

 par : 

f(x) = \begin{cases}\dfrac23x+2 \text{ si } -3\leqslant x\leqslant 0\\-\dfrac25x+2 \text{ si } 0< x\leqslant 5\end{cases}

Soit 

\text A

,

\text B

et

\text C

 les points de la courbe représentative de 

f

, d'abscisses respectives 

-3

,

0

et

5

.

1.Représenter la fonction 

f

sur

[-3~;~5]

.
2.Déterminer, en unités d'aire, l'aire du triangle 

\mathrm{ABC}

.

Exercice 2

Dans le repère orthonormal ci-dessous du plan 

\left(\text O~; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)

, on considère les points 

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

.

Calculer, en unités d'aire, l'aire du trapèze

\mathrm{ABCD}

.

Soit

F

la fonction définie sur 

\mathbb R

par

F(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+1}

.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb R

par

f(x) = \dfrac{-2(x^2+3x-1)}{(x^2+1)^2}

.

Justifier que

F

est une primitive de

f

sur

\mathbb R

.

Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction

f

définie sur l'intervalle

I

.

1.

f(x)=2x^2-\dfrac 4x+3\ln(x)

sur

I=]0~;+\infty[

.

2.

f(x)=\sqrt x\times \ln(x)

sur

I=]0~;+\infty[

.

3.

f(x)=\dfrac{\text e^{-x}}{x^2+1}

sur

I=\mathbb R

.

4.

f(x)=\text e^{-x^2+3x+2}

sur

I=\mathbb R

.

5.

f(x)=(\ln(x))^2

sur

I=]0~;+\infty[

.

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction

f

définie sur l'intervalle

I

.

1.

f(x)=x^2+\dfrac4x-\dfrac{3}{x^2}

sur

I=\,]0~;+\infty[

.

2.

f(x)=\text e^{-x}

sur

I=\mathbb R

.

3.

f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}

sur

I=\mathbb R

.

4.

f(x)=\dfrac{x^2}{x^3+1}

sur

I=\,]-1~;+\infty[

.

5.

f(x)=\dfrac{\text e^{x}}{(1+\text e^x)^2}

sur

I=\mathbb R

.

1.Soit

G

la fonction définie, pour tout réel

x

strictement positif, par 

G(x)=x\ln(x)-x+2

.

G

est une primitive de la fonction

g

définie sur

]0~;+\infty[

par

:
    a.

g(x)=x\ln(x)-1

b.

g(x)=\ln(x)+ 2x

c.

g(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+2x

d.

g(x)=\ln(x)

2.Soit

f

la fonction définie, pour tout réel

x

strictement positif, par

f(x) = 3x + \dfrac{2}{x}

. Une primitive de

f

est la fonction

F

définie, pour tout réel

x

strictement positif, par :
    a.

F(x) = 3x^2 + \ln \left(x^2\right)

b.

F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 2\ln (x)

c.

F(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2}

d.

F(x) = 6x - 2\ln (x)

Unité d'aire