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\(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\)

Sommaire

Unité d'aireCalculs d'airesPrimitive d'une fonctionCalculs de dérivéesCalculs de primitivesQCM - Primitives de fonctions

Unité d'aire

Définition
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
, soit
I(1 ; 0)\text I(1~;~0)I(1 ; 0)
,
J(0 ; 1)\text J(0~;~1)J(0 ; 1)
et
K(1 ; 1)\text K(1~;~1)K(1 ; 1)
.
On appelleunité d'aire, et onnote\(\)u.a., l'aire du rectangle
OIKJ\mathrm{OIKJ}OIKJ
.
Remarque
Soit un repère
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
d'unités graphiques
333
 cm en abscisses et
444
cm en ordonnées. Alors, une unité d'aire est égale à
3×4=123\times 4 = 123×4=12
cm². On écrit
111
u.a. =
121212
cm².

Calculs d'aires

Exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit 
fff
 la fonction définie sur 
[−3 ; 5][-3~;~5][−3 ; 5]
 par : 
f(x)={23x+2 si −3⩽x⩽0−25x+2 si 0<x⩽5f(x) = \begin{cases}\dfrac23x+2 \text{ si } -3\leqslant x\leqslant 0\\-\dfrac25x+2 \text{ si } 0< x\leqslant 5\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​32​x+2 si −3⩽x⩽0−52​x+2 si 0<x⩽5​
Soit 
A\text AA
, 
B\text BB
et 
C\text CC
 les points de la courbe représentative de 
fff
, d'abscisses respectives 
−3-3−3
,
000
 et
555
.
1.Représenter la fonction 
fff
 sur 
[−3 ; 5][-3~;~5][−3 ; 5]
.
2.Déterminer, en unités d'aire, l'aire du triangle 
ABC\mathrm{ABC}ABC
.
Exercice 2
Dans le repère orthonormal ci-dessous du plan 
(O ;i→,j→)\left(\text O~; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
, on considère les points 
A\text AA
,
B\text BB
, 
C\text CC
et
D\text DD
.
Calculer, en unités d'aire, l'aire du trapèze
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
.

Primitive d'une fonction

Soit
FFF
la fonction définie sur 
R\mathbb RR
par
F(x)=2x+3x2+1F(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+1}F(x)=x2+12x+3​
.
Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=−2(x2+3x−1)(x2+1)2f(x) = \dfrac{-2(x^2+3x-1)}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2−2(x2+3x−1)​
.
Justifier que
FFF
est une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
.

Calculs de dérivées

Dans chacun des cas suivants, déterminer la dérivée de la fonction
fff
définie sur l'intervalle
III
.
1.
f(x)=2x2−4x+3ln⁡(x)f(x)=2x^2-\dfrac 4x+3\ln(x)f(x)=2x2−x4​+3ln(x)
sur
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
2.
f(x)=x×ln⁡(x)f(x)=\sqrt x\times \ln(x)f(x)=x​×ln(x)
 sur
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
3.
f(x)=e−xx2+1f(x)=\dfrac{\text e^{-x}}{x^2+1}f(x)=x2+1e−x​
sur
I=RI=\mathbb RI=R
.
4.
f(x)=e−x2+3x+2f(x)=\text e^{-x^2+3x+2}f(x)=e−x2+3x+2
 sur
I=RI=\mathbb RI=R
.
5.
f(x)=(ln⁡(x))2f(x)=(\ln(x))^2f(x)=(ln(x))2
 sur 
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.

Calculs de primitives

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction
fff
définie sur l'intervalle
III
.
1.
f(x)=x2+4x−3x2f(x)=x^2+\dfrac4x-\dfrac{3}{x^2}f(x)=x2+x4​−x23​
 sur
I= ]0 ;+∞[I=\,]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
2.
f(x)=e−xf(x)=\text e^{-x}f(x)=e−x
sur
I=RI=\mathbb RI=R
.
3.
f(x)=ln⁡(x)xf(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}f(x)=xln(x)​
sur
I=RI=\mathbb RI=R
.
4.
f(x)=x2x3+1f(x)=\dfrac{x^2}{x^3+1}f(x)=x3+1x2​
sur 
I= ]−1 ;+∞[I=\,]-1~;+\infty[I=]−1 ;+∞[
.
5.
f(x)=ex(1+ex)2f(x)=\dfrac{\text e^{x}}{(1+\text e^x)^2}f(x)=(1+ex)2ex​
sur
I=RI=\mathbb RI=R
.

QCM - Primitives de fonctions

1.Soit
GGG
la fonction définie, pour tout réel
xxx
strictement positif, par 
G(x)=xln⁡(x)−x+2G(x)=x\ln(x)-x+2G(x)=xln(x)−x+2
. 
GGG
est une primitive de la fonction
ggg
définie sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
par
:
    a.
g(x)=xln⁡(x)−1g(x)=x\ln(x)-1g(x)=xln(x)−1
    b.
g(x)=ln⁡(x)+2xg(x)=\ln(x)+ 2xg(x)=ln(x)+2x
    c.
g(x)=1−x22+2xg(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+2xg(x)=1−2x2​+2x
    d.
g(x)=ln⁡(x)g(x)=\ln(x)g(x)=ln(x)
2.Soit
fff
la fonction définie, pour tout réel
xxx
strictement positif, par
f(x)=3x+2xf(x) = 3x + \dfrac{2}{x}f(x)=3x+x2​
. Une primitive de
fff
est la fonction
FFF
définie, pour tout réel
xxx
strictement positif, par :
    a.
F(x)=3x2+ln⁡(x2)F(x) = 3x^2 + \ln \left(x^2\right)F(x)=3x2+ln(x2)
    b.
F(x)=3x22+2ln⁡(x)F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 2\ln (x)F(x)=23x2​+2ln(x)
    c.
F(x)=3−2x2F(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2}F(x)=3−x22​
    d.
F(x)=6x−2ln⁡(x)F(x) = 6x - 2\ln (x)F(x)=6x−2ln(x)