Exercice 1Avec une fonction constante
Soit
la fonction constante définie, pour tout
, par
.
Soit
sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'un plan, d'unité d'aire 1 cm².
1. Représenter la fonction
dansce repère.
2. Hachurer le domaine
délimité par la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
3. Donner l’aire, en cm², de ce domaine
.
Exercice 2Avec une fonction affine
On se place dans un repère orthonormal d'un plan, d'unité d'aire 1 cm².
Soit
et
.
1. Représenter les points
et
dans ce repère.
2. Hachurer le domaine
délimité par la droite
, l'axe des abscisses et les droites d’équations
et
.
3. Donner l’aire, en cm², de ce domaine
.
4.Retrouver ce résultat par le calcul.
Exercice 3Avec la fonction carré
Soit
la fonction carré définie sur l'intervalle
.
On se place dans un repère orthogonal d'un plan. Soit
la courbe représentative de
dans ce repère.
1.Hachurer, sur le graphique ci-dessus, le domaine
délimité par la courbe
, l’axe des abscisses et les droites d’équations
et
.
2. Peut-on calculer l'aire exacte du domaine ?
3.À l'aide du graphique, donnerune valeur approchée de l'aire du domaine, en unités d'aire.
Objectif de l'activité
Soit
la fonction définie par
pour tout
.
Soit
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'objectif de cette activité est dedéterminerune valeur approchée de l'aire du domaine
délimité par la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
En faisant varierci-dessousle curseur
, conjecturer une valeur de l'aire du domaine
, en unité d'aire (u.a.).
Protocole de construction des rectangles
Soit
et
deux réels tels que
Méthode
- Première étape : subdivision de l'intervalle
Soit
et
deux entiers strictement positifs.
On divise l'intervalle
en
intervalles de longueur égale
.
On dit que
est le nombre de subdivisions de l'intervalle
.
Le nombre
est appelé pas de subdivision. On a donc
.
Par exemple, l'intervalle
est de longueur
(car
).
Si
alors
.
- Seconde étape : construction des rectangles inférieurs
On pose
et
.
On considère les points
de coordonnées
,
de coordonnées
,
de coordonnées
et
de coordonnées
.
On s'intéresse au rectangle
.
Son aire, en unités d'aire, est
.
Soit
le point de
de même abscisse que
(et
).
On a donc
.
On construit, selon le même procédé, le rectangle
.
Son aire, en unité d'aire, est
.
De la même manière, l'aire du rectangle suivant est :
.
On réitère ainsi le processus
fois.
En sommant les aires des
rectangles obtenus, on obtient une approximation de l'aire, en unité d'aire, dudomaine
par valeurs inférieures.
Méthode des rectangles - Rectangles inférieurs
On considère la fonction
définie par
pour tout
.
Soit
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unité d'aire, du domaine
délimité par la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
Soit
un entier strictement positif. On subdivise l'intervalle
en
intervalles.
On considère les rectangles construits selon la méthode précédente.
On définit la suite finie des abscisses de la subdivision
, par
.
1. Soit
un entier tel que
. Exprimer l'aire du rectangle
en fonction de
et
.
2.Exprimer, en fonction de
, la somme
.
Onadmet que
.
3.a. Démontrer que la somme des aires des rectangles inférieurs est donnée, pour tout entier
strictement positif, par
. b. Calculer la limite de
.
Méthode des rectangles - Rectangles supérieurs
On considère, comme dans la perle précédente, la fonction
définie par
pour tout
.
Soit
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à nouveau à l'aire, en unité d'aire, du domaine
délimité par la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
Soit
un entier strictement positif. On subdivise l'intervalle
en
intervalles.
On peut également définir une approximation de l'aire du domaine en sommant les aires des rectangles supérieurs.
1.On admet que, en réadaptant la démarche, la somme des aires des rectangles supérieurs est donnée, pour tout
strictement positif, par
. Calculer la limite de
.
2.On rappelle que,pour tout entier naturel
n
strictement positif,
S_n
est la somme des aires des rectangles inférieurs. Il a été vu dans la perle précédente que la suite
(S_n)
convergeait vers
21
.
Que constate-t-on sur les suites
et
? Qu'en déduit-on concernant l'aire, en unité d'aire, du domaine
?
Algorithme
On considère la fonction
définie par
pour tout
.
Soit
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unité d'aire, du domaine
délimité par la courbe
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
.
On peut programmer un algorithme en langage Python pour effectuer des calculs d'approximation de plus en plus précis de l'aire du domaine
, en utilisant la méthode décrite précédemment des rectangles inférieurs.
1.Expliquer les lignes 2 et 5 de cet algorithme.
2.Modifier l'algorithme pour que l'intervalle considéré soit un intervalle saisi par l'utilisateur.
3.Modifier l'algorithme pour que la fonction considérée soit une fonction saisie par l'utilisateur.
4.Proposer un algorithme, nommé airesup(n), qui permet de calculer l'aire totale, en unité d'aire, des rectangles supérieurs pour la fonction carré sur l'intervalle
.