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Activité - La méthode des rectangles

Exercice 1Avec une fonction constante

Sommaire

Aires particulières - Exercices préliminairesObjectif de l'activitéProtocole de construction des rectanglesMéthode des rectangles - Rectangles inférieursMéthode des rectangles - Rectangles supérieursAlgorithme

Aires particulières - Exercices préliminaires

Exercice 1Avec une fonction constante
Soit
fff
la fonction constante définie, pour tout
x∈[1 ; 4]x \in [1~;~4]x∈[1 ; 4]
, par 
f(x)=2f (x) = 2f(x)=2
.
Soit
C\mathscr CC
sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'un plan, d'unité d'aire 1 cm².
1. Représenter la fonction
fff
dansce repère.
2. Hachurer le domaine
D\mathscr DD
délimité par la courbe
C\mathscr CC
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
x=1x = 1x=1
et
x=4x = 4x=4
.
3. Donner l’aire, en cm², de ce domaine
D\mathscr DD
.
Exercice 2Avec une fonction affine
On se place dans un repère orthonormal d'un plan, d'unité d'aire 1 cm².
Soit
A(−2 ; 1)\text A(-2~;~1)A(−2 ; 1)
et
B(2 ; 3)\text B(2~;~3)B(2 ; 3)
.
1. Représenter les points
A\text AA
 et
B\text BB
dans ce repère.
2. Hachurer le domaine
D\mathscr DD
délimité par la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
, l'axe des abscisses et les droites d’équations
x=−2x = -2x=−2
et
x=2x = 2x=2
.
3. Donner l’aire, en cm², de ce domaine
D\mathscr DD
.
4.Retrouver ce résultat par le calcul.
Exercice 3Avec la fonction carré
Soit
fff
la fonction carré définie sur l'intervalle
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
.
On se place dans un repère orthogonal d'un plan. Soit
C\mathscr CC
la courbe représentative de
fff
dans ce repère.
1.Hachurer, sur le graphique ci-dessus, le domaine
D\mathscr DD
 délimité par la courbe
C\mathscr CC
, l’axe des abscisses et les droites d’équations
x=1x = 1x=1
et
x=4x = 4x=4
.
2. Peut-on calculer l'aire exacte du domaine ?
3.À l'aide du graphique, donnerune valeur approchée de l'aire du domaine, en unités d'aire.

Objectif de l'activité

Soit
fff
la fonction définie par
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
pour tout
x∈[1 ; 4]x \in [1~;~4]x∈[1 ; 4]
.
Soit
C\mathscr CC
sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 
L'objectif de cette activité est dedéterminerune valeur approchée de l'aire du domaine
D\mathscr DD
délimité par la courbe 
C\mathscr CC
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
x=1x=1x=1
 et 
x=4x=4x=4
.
En faisant varierci-dessousle curseur
nnn
, conjecturer une valeur de l'aire du domaine 
D\mathscr DD
, en unité d'aire (u.a.).

Protocole de construction des rectangles

Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Méthode
  • Première étape : subdivision de l'intervalle
Soit
nnn
et
hhh
deux entiers strictement positifs.
On divise l'intervalle
[a ; b][a~;~b][a ; b]
en
nnn
intervalles de longueur égale
hhh
.
On dit que
nnn
est le nombre de subdivisions de l'intervalle
[a ; b][a~;~b][a ; b]
.
Le nombre
hhh
est appelé pas de subdivision. On a donc
h=b−anh = \dfrac{b - a}{n}h=nb−a​
.
Par exemple, l'intervalle
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
est de longueur 
333
(car
4−1=34-1 = 34−1=3
).
Si
n=3n = 3n=3
alors 
h=1h = 1h=1
.
  • Seconde étape : construction des rectangles inférieurs
On pose
x0=ax_0=ax0​=a
et
xn=bx_n=bxn​=b
.
On considère les points
A0\text A_0A0​
de coordonnées
(x0 ; f(x0))(x_0~;~f (x_0))(x0​ ; f(x0​))
,
B0\text B_0B0​
de coordonnées
(x0 ; 0)(x_0~;~0)(x0​ ; 0)
,
B1\text B_1B1​
de coordonnées
(x0+h ; 0)(x_0 +h~;~0)(x0​+h ; 0)
et
C0\text C_0C0​
de coordonnées
(x0+h ; f(x0))(x_0 +h~;~f (x_0))(x0​+h ; f(x0​))
.
On s'intéresse au rectangle
A0B0B1C0\text A_0\text B_0 \text B_1\text C_0A0​B0​B1​C0​
.
Son aire, en unités d'aire, est
A0B0×B0B1=f(x0)×h\text A_0\text B_0 \times \text B_0\text B_1 = f (x_0)\times hA0​B0​×B0​B1​=f(x0​)×h
.
Soit
A1\text A_1A1​
le point de
C\mathscr CC
de même abscisse que
B1\text B_1B1​
 (et
C0\text C_0C0​
).
On a donc
A1(x0+h ; f(x0+h))\text A_1(x_0 +h~;~f (x_0 +h))A1​(x0​+h ; f(x0​+h))
.
On construit, selon le même procédé, le rectangle
A1B1B2C1\text A_1\text B_1\text B_2\text C_1A1​B1​B2​C1​
.
Son aire, en unité d'aire, est
A1B1×B1B2=f(x0+h)×h\text A_1\text B_1 \times \text B_1\text B_2 = f (x_0 +h)\times hA1​B1​×B1​B2​=f(x0​+h)×h
.
De la même manière, l'aire du rectangle suivant est :
f(x0+2h)×hf (x_0 +2h)\times hf(x0​+2h)×h
.
On réitère ainsi le processus
nnn
fois.
En sommant les aires des
nnn
rectangles obtenus, on obtient une approximation de l'aire, en unité d'aire, dudomaine
D\mathscr DD
par valeurs inférieures.

Méthode des rectangles - Rectangles inférieurs

On considère la fonction
fff
définie par
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
pour tout
x∈[1 ; 4]x \in [1~;~4]x∈[1 ; 4]
.
Soit
C\mathscr CC
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unité d'aire, du domaine
D\mathscr DD
délimité par la courbe 
C\mathscr CC
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
x=1x=1x=1
 et 
x=4x=4x=4
.
Soit
nnn
un entier strictement positif. On subdivise l'intervalle
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
en
nnn
intervalles.
On considère les rectangles construits selon la méthode précédente.
On définit la suite finie des abscisses de la subdivision
(xk)0⩽k⩽n−1(x_k)_{0\leqslant k\leqslant n-1}(xk​)0⩽k⩽n−1​
, par
xk=1+k×3nx_k = 1+k \times \dfrac3nxk​=1+k×n3​
.
1. Soit
kkk
un entier tel que
0⩽k⩽n−10 \leqslant k \leqslant n -10⩽k⩽n−1
. Exprimer l'aire du rectangle
AkBkBk+1Ck\text A_k\text B_k\text B_{k+1}\text C_{k}Ak​Bk​Bk+1​Ck​
en fonction de
xkx_kxk​
et
nnn
.
2.Exprimer, en fonction de
nnn
, la somme
∑k=0n−1k\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} kk=0∑n−1​k
. 
Onadmet que 
∑k=0n−1k2=n(n−1)(2n−1)6\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}k=0∑n−1​k2=6n(n−1)(2n−1)​
. 
3.a. Démontrer que la somme des aires des rectangles inférieurs est donnée, pour tout entier
nnn
strictement positif, par
Sn=3(14n2−15n+3)2n2S_n = \dfrac{3(14n^2 -15n +3)}{2n^2}Sn​=2n23(14n2−15n+3)​
.    b. Calculer la limite de
(Sn)(S_n)(Sn​)
.

Méthode des rectangles - Rectangles supérieurs

On considère, comme dans la perle précédente, la fonction
fff
définie par
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
pour tout
x∈[1 ; 4]x \in [1~;~4]x∈[1 ; 4]
.
Soit
C\mathscr CC
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à nouveau à l'aire, en unité d'aire, du domaine
D\mathscr DD
délimité par la courbe 
C\mathscr CC
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
x=1x=1x=1
 et 
x=4x=4x=4
.
Soit
nnn
un entier strictement positif. On subdivise l'intervalle
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
en
nnn
intervalles.
On peut également définir une approximation de l'aire du domaine en sommant les aires des rectangles supérieurs.
1.On admet que, en réadaptant la démarche, la somme des aires des rectangles supérieurs est donnée, pour tout
nnn
strictement positif, par 
Sn′=3(14n2+15n+3)2n2S_n' = \dfrac{3(14n^2 +15n +3)}{2n^2}Sn′​=2n23(14n2+15n+3)​
. Calculer la limite de
(Sn′)(S'_n)(Sn′​)
.
2.On rappelle que,pour tout entier naturel 
n
 strictement positif, 
S_n
est la somme des aires des rectangles inférieurs. Il a été vu dans la perle précédente que la suite
(S_n)
 convergeait vers
21
.
Que constate-t-on sur les suites
(Sn)(S_n)(Sn​)
et
(Sn′)(S'_n)(Sn′​)
? Qu'en déduit-on concernant l'aire, en unité d'aire, du domaine
D\mathscr DD
?

Algorithme

On considère la fonction
fff
définie par
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2
pour tout
x∈[1 ; 4]x \in [1~;~4]x∈[1 ; 4]
.
Soit
C\mathscr CC
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On s'intéresse à l'aire, en unité d'aire, du domaine
D\mathscr DD
délimité par la courbe 
C\mathscr CC
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
x=1x=1x=1
 et 
x=4x=4x=4
.
On peut programmer un algorithme en langage Python pour effectuer des calculs d'approximation de plus en plus précis de l'aire du domaine
D\mathscr DD
, en utilisant la méthode décrite précédemment des rectangles inférieurs. 
1.Expliquer les lignes 2 et 5 de cet algorithme.
2.Modifier l'algorithme pour que l'intervalle considéré soit un intervalle saisi par l'utilisateur.
3.Modifier l'algorithme pour que la fonction considérée soit une fonction saisie par l'utilisateur.
4.Proposer un algorithme, nommé airesup(n), qui permet de calculer l'aire totale, en unité d'aire, des rectangles supérieurs pour la fonction carré sur l'intervalle
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
.