Appliquer

On note 

f

 la fonction définie sur l'intervalle

]0~;+ \infty[

par

f(x) = \Big(2 - \ln(x)\Big) \ln(x)

.
Sa courbe représentative

\mathscr{C}_{f}

dans un repère orthonormal est donnée ci-dessous.
On appelle

\text A

et

\text B

les points d'intersection de la courbe 

\mathscr{C}_{f}

 avec l'axe des abscisses.

1.Calculer 

f(1)

et

f(\text e^2)

.

2.On note

\mathscr D

le domaine délimité par la courbe

\mathscr{C}_{f}

, l'axe des abscisses et les droites d'équations 

x = 1

et

x = \text{e}^2

. Hachurer, sur le graphique ci-dessus, le domaine

\mathscr{D}

.

On suppose que chaque carreau a pour côté

1

cm. L'unité d'aire est

1

cm².
Dans chacun des cas suivants, calculer l’aire

\mathscr A

de la surface hachurée ou en donner un encadrement au cm² près.

Exercice 1

Le plan est muni du repère orthogonal suivant.

\mathscr C

est la courbe représentative d’une fonction

f

définie sur

[-5~;~5]

.

On pose

A=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \text{ d}x

. Un encadrement de

A

est : 
    a.

0 < A < 1

b.

1 < A < 2

c.

3 < A < 4

d.

4 < A < 5

Exercice 2

Démontrer les inégalités suivantes.

1.

\displaystyle \int_{\frac13}^1 \ln(t) \text{ d}t \geqslant -\dfrac23\ln(3)

.

2.

\displaystyle \int_{2}^3 \dfrac{1}{1+x^2} \text{ d}x \leqslant \dfrac15

.

Exercice 3

Démontrer les encadrements suivants.

1.

\displaystyle \dfrac34 \leqslant \int_{1}^4 \dfrac{1}{2+\sqrt{t}} \text{ d}t \leqslant 1

.

2.

\displaystyle \dfrac14\leqslant \int_{1}^2 \dfrac{1}{1+x^3} \text{ d}x \leqslant 1

.

3.

\displaystyle 6\ln(3) \leqslant \int_{2}^8 \ln(x+1)\text{ d}x \leqslant 12\ln(3)

.

Exercice 1
1.Calculer 

\displaystyle \int_3^4 \text d x

.

2.Calculer 

\displaystyle \int_{-1}^ 0 3\ \text d x

.

Exercice 2
1.Calculer 

\displaystyle \int_{2}^5 (x-2)\ \text d x

.

2.Calculer 

\displaystyle \int_0^4 (2t+1)\ \text d t

.

Exercice 3
1.Calculer 

\displaystyle \int_{1}^3 (x^3+x^2+x)\ \text d x

.

2.Calculer 

\displaystyle \int_{-1}^1 (2\text e^x+1)\ \text d x

.

Exercice 4
1.Calculer 

\displaystyle \int_{3}^4 \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}\ \text d x

.

2. Calculer 

\displaystyle \int_{2}^4 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}\ \text d x

.

Exercice 5

1.Calculer 

\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{2x}{x^2+2}\ \text d x

.

2. Calculer 

\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{\text e^x}{1+\text e^x}\ \text d x

.

Exercice 6
1.Calculer 

\displaystyle \int_{3}^4 \dfrac{3x^2-2}{(x^3-2x+4)^3}\ \text d x

.

2. Calculer 

\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{3x}{(x^2+5)^4}\ \text d x

.

Exercice 1

1.Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb R

par

f (x) = \big|x -2\big|+1

.
    a.Représenter graphiquement `f`dans un repère orthogonal et calculer 

\displaystyle \int_0^3 f(x)\text d x

.
    b.En déduire la valeur moyenne de

f

sur

[0~;~3]

.
2.Utiliser la question1. a.pour calculer

\displaystyle \int_0^3 \Big[3f(x)+2\Big]\text d x

.Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur moyenne de la fonction

f

sur l'intervalle donné.

1.

f(x)=x^2+3

sur

[-2~;~3]

.

2.

f(x)=\dfrac25x^3+\dfrac12\text e^x

sur

[-1~;~1]

.

3.

f(x)=-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac3{x^2}-2

sur

[1~;~4]

.

4.

f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{3x+2}}

sur

[2~;~6]

.

5.

f(x)=(2x-3)^4

sur

[0~;~5]

.

6.

f(x)=\dfrac{2}{x-7}

sur

[9~;~11]

.

7.

f(x)=\text e^{-0{,}5x+3}

sur

[-2~;~2]

.

1. En posant

\ln(t) = 1\times \ln(t)

, calculer, pour

x>1

,

\displaystyle I(x)=\int_{1}^{x} \ln(t) \text{ d}t

.

2.Calculer

\displaystyle I=\int_{0}^{1} (1-x)\text e^{-x} \text{ d}x

.

3.Calculer

\displaystyle I=\int_{1}^{\text e} x\ln(x) \text{ d}x

.

4.Calculer

\displaystyle I=\int_{0}^{1} (x+2)\text e^{x} \text{ d}x

.

5.Calculer

\displaystyle I=\int_{1}^{2} (t-2)\text e^{2t} \text{ d}t

.

6. Calculer

\displaystyle I=\int_{0}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \text{ d}x

.

7.En utilisant à deux reprises une intégration par parties, calculer 

\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^2\text e^{-x} \text{ d}x

.

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