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 la fonction définie sur l'intervalle

Sommaire

Visualiser un domaineEncadrer une aireEncadrer une intégraleCalculer un intégrale grâce à une primitiveCalculer la valeur moyenne d'une fonctionCalculer une intégrale grâce à une intégration par parties

Visualiser un domaine

On note 
fff
 la fonction définie sur l'intervalle
]0 ;+∞[]0~;+ \infty[]0 ;+∞[
par 
f(x)=(2−ln⁡(x))ln⁡(x)f(x) = \Big(2 - \ln(x)\Big) \ln(x)f(x)=(2−ln(x))ln(x)
.
Sa courbe représentative
Cf\mathscr{C}_{f}Cf​
dans un repère orthonormal est donnée ci-dessous.
On appelle
A\text AA
et
B\text BB
les points d'intersection de la courbe 
Cf\mathscr{C}_{f}Cf​
 avec l'axe des abscisses.
1.Calculer 
f(1)f(1)f(1)
et
f(e2)f(\text e^2)f(e2)
.
2.On note
D\mathscr DD
le domaine délimité par la courbe
Cf\mathscr{C}_{f}Cf​
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
x=1x = 1x=1
et
x=e2x = \text{e}^2x=e2
. Hachurer, sur le graphique ci-dessus, le domaine
D\mathscr{D}D
.

Encadrer une aire

On suppose que chaque carreau a pour côté
111
cm. L'unité d'aire est
111
cm².
Dans chacun des cas suivants, calculer l’aire
A\mathscr AA
de la surface hachurée ou en donner un encadrement au cm² près.

Encadrer une intégrale

Exercice 1
Le plan est muni du repère orthogonal suivant.
C\mathscr CC
est la courbe représentative d’une fonction
fff
définie sur
[−5 ; 5][-5~;~5][−5 ; 5]
.
On pose
A=∫−22f(x) dxA=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \text{ d}xA=∫−22​f(x) dx
. Un encadrement de
AAA
est : 
    a.
0<A<10 < A < 10<A<1
b.
1<A<21 < A < 21<A<2
c.
3<A<43 < A < 43<A<4
d.
4<A<54 < A < 54<A<5
Exercice 2
Démontrer les inégalités suivantes.
1.
∫131ln⁡(t) dt⩾−23ln⁡(3)\displaystyle \int_{\frac13}^1 \ln(t) \text{ d}t \geqslant -\dfrac23\ln(3)∫31​1​ln(t) dt⩾−32​ln(3)
.
2.
∫2311+x2 dx⩽15\displaystyle \int_{2}^3 \dfrac{1}{1+x^2} \text{ d}x \leqslant \dfrac15∫23​1+x21​ dx⩽51​
.
Exercice 3
Démontrer les encadrements suivants.
1.
34⩽∫1412+t dt⩽1\displaystyle \dfrac34 \leqslant \int_{1}^4 \dfrac{1}{2+\sqrt{t}} \text{ d}t \leqslant 143​⩽∫14​2+t​1​ dt⩽1
.
2.
14⩽∫1211+x3 dx⩽1\displaystyle \dfrac14\leqslant \int_{1}^2 \dfrac{1}{1+x^3} \text{ d}x \leqslant 141​⩽∫12​1+x31​ dx⩽1
.
3.
6ln⁡(3)⩽∫28ln⁡(x+1) dx⩽12ln⁡(3)\displaystyle 6\ln(3) \leqslant \int_{2}^8 \ln(x+1)\text{ d}x \leqslant 12\ln(3)6ln(3)⩽∫28​ln(x+1) dx⩽12ln(3)
.

Calculer un intégrale grâce à une primitive

Exercice 1
1.Calculer 
∫34dx\displaystyle \int_3^4 \text d x∫34​dx
. 
2.Calculer 
∫−103 dx\displaystyle \int_{-1}^ 0 3\ \text d x∫−10​3 dx
.
Exercice 2
1.Calculer 
∫25(x−2) dx\displaystyle \int_{2}^5 (x-2)\ \text d x∫25​(x−2) dx
.
2.Calculer 
∫04(2t+1) dt\displaystyle \int_0^4 (2t+1)\ \text d t∫04​(2t+1) dt
.
Exercice 3
1.Calculer 
∫13(x3+x2+x) dx\displaystyle \int_{1}^3 (x^3+x^2+x)\ \text d x∫13​(x3+x2+x) dx
.
2.Calculer 
∫−11(2ex+1) dx\displaystyle \int_{-1}^1 (2\text e^x+1)\ \text d x∫−11​(2ex+1) dx
.
Exercice 4
1.Calculer 
∫342x−1 dx\displaystyle \int_{3}^4 \dfrac{2}{\sqrt{x-1}}\ \text d x∫34​x−1​2​ dx
.
2. Calculer 
∫24xx2+3 dx\displaystyle \int_{2}^4 \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}\ \text d x∫24​x2+3​x​ dx
.
Exercice 5
1.Calculer 
∫012xx2+2 dx\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{2x}{x^2+2}\ \text d x∫01​x2+22x​ dx
.
2. Calculer 
∫−11ex1+ex dx\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{\text e^x}{1+\text e^x}\ \text d x∫−11​1+exex​ dx
.
Exercice 6
1.Calculer 
∫343x2−2(x3−2x+4)3 dx\displaystyle \int_{3}^4 \dfrac{3x^2-2}{(x^3-2x+4)^3}\ \text d x∫34​(x3−2x+4)33x2−2​ dx
.
2. Calculer 
∫−113x(x2+5)4 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{3x}{(x^2+5)^4}\ \text d x∫−11​(x2+5)43x​ dx
.

Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Exercice 1
1.Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=∣x−2∣+1f (x) = \big|x -2\big|+1f(x)=​x−2​+1
.
    a.Représenter graphiquement `f`dans un repère orthogonal et calculer 
∫03f(x)dx\displaystyle \int_0^3 f(x)\text d x∫03​f(x)dx
.
    b.En déduire la valeur moyenne de
fff
sur
[0 ; 3][0~;~3][0 ; 3]
.
2.Utiliser la question1. a.pour calculer
∫03[3f(x)+2]dx\displaystyle \int_0^3 \Big[3f(x)+2\Big]\text d x∫03​[3f(x)+2]dx
.Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur moyenne de la fonction
f
sur l'intervalle donné.
1.
f(x)=x2+3f(x)=x^2+3f(x)=x2+3
sur
[−2 ; 3][-2~;~3][−2 ; 3]
.
2.
f(x)=25x3+12exf(x)=\dfrac25x^3+\dfrac12\text e^xf(x)=52​x3+21​ex
sur
[−1 ; 1][-1~;~1][−1 ; 1]
.
3.
f(x)=−4x3+3x2−2f(x)=-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac3{x^2}-2f(x)=−x34​+x23​−2
sur
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
.
4.
f(x)=33x+2f(x)=\dfrac{3}{\sqrt{3x+2}}f(x)=3x+2​3​
sur
[2 ; 6][2~;~6][2 ; 6]
.
5.
f(x)=(2x−3)4f(x)=(2x-3)^4f(x)=(2x−3)4
sur
[0 ; 5][0~;~5][0 ; 5]
.
6.
f(x)=2x−7f(x)=\dfrac{2}{x-7}f(x)=x−72​
sur
[9 ; 11][9~;~11][9 ; 11]
.
7.
f(x)=e−0,5x+3f(x)=\text e^{-0{,}5x+3}f(x)=e−0,5x+3
sur
[−2 ; 2][-2~;~2][−2 ; 2]
.

Calculer une intégrale grâce à une intégration par parties

1. En posant
ln⁡(t)=1×ln⁡(t)\ln(t) = 1\times \ln(t)ln(t)=1×ln(t)
, calculer, pour
x>1x>1x>1
, 
I(x)=∫1xln⁡(t) dt\displaystyle I(x)=\int_{1}^{x} \ln(t) \text{ d}tI(x)=∫1x​ln(t) dt
.
2.Calculer
I=∫01(1−x)e−x dx\displaystyle I=\int_{0}^{1} (1-x)\text e^{-x} \text{ d}xI=∫01​(1−x)e−x dx
.
3.Calculer
I=∫1exln⁡(x) dx\displaystyle I=\int_{1}^{\text e} x\ln(x) \text{ d}xI=∫1e​xln(x) dx
.
4.Calculer
I=∫01(x+2)ex dx\displaystyle I=\int_{0}^{1} (x+2)\text e^{x} \text{ d}xI=∫01​(x+2)ex dx
.
5.Calculer
I=∫12(t−2)e2t dt\displaystyle I=\int_{1}^{2} (t-2)\text e^{2t} \text{ d}tI=∫12​(t−2)e2t dt
.
6. Calculer
I=∫01xx+1 dx\displaystyle I=\int_{0}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \text{ d}xI=∫01​x+1​x​ dx
.
7.En utilisant à deux reprises une intégration par parties, calculer 
I=∫01x2e−x dx\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^2\text e^{-x} \text{ d}xI=∫01​x2e−x dx
.