S'entraîner

À l'aide d'une intégration par parties astucieusement choisie, calculer

\displaystyle \int_{0}^{1}2x^{3}\text{e}^{x^{2}}\mbox{d}x

.

Si, si, c'est possible !

*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb R

par

f(x) = x\text{e}^{-x^2+1}

.
On note

(\mathscr{C})

la courbe représentative de 

f

 dans un repère orthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)

.

1. a.Montrer que, pour tout

x

réel,

f(x) = \dfrac{\text{e}}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}

.b.En déduire la limite de

f(x)

lorsque 

x

tend vers 

+ \infty

.

2.Pour tout réel 

x

, on considère les points

\text M

et

\text N

de la courbe

(\mathscr{C})

d'abscisses respectives 

x

et

-x

.a.Montrer que le point

\text O

est le milieu du segment

\mathrm{[MN]}

.b.Que peut-on en déduire pour la courbe 

(\mathscr{C})

?

3.Étudier les variations de la fonction 

f

sur l'intervalle

[0~; +\infty[

.

4. a.Montrer que l'équation

f(x) = 0,\!5

admet sur

[0~;+\infty[

 exactement deux solutions notées

\alpha

et

\beta

(avec

\alpha < \beta

).b.En déduire les solutions sur

[0~;+\infty[

de l'inéquation

f(x) \geqslant 0,\!5

.c.Donner une valeur approchée à 

10^{-2}

près de

\alpha

et

\beta

.

5.Soit

A

un réel strictement positif. On pose

I_A = \displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x

.a. Justifier que

I_A = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}- \text{e}^{-A^2+1}\right)

.b. Calculer la limite de

I_A

lorsque

A

tend vers

+\infty

. On admet que cette limite est l'aire, en unité d'aire, située entre la partie de la courbe

(\mathscr{C})

sur

[0~;+\infty[

et l'axe des abscisses.

6.Comme illustré sur le graphique ci-dessous, on s'intéresse à la partie grisée du plan qui est délimitée par :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la courbe

(\mathscr{C})

sur

\mathbb R

et la courbe

(\mathscr{C}')

symétrique de

(\mathscr{C})

par rapport à l'axe des abscisses ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;le cercle de centre

\Omega\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)

et de rayon

0,\!5

et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On admet que le disque de centre

\Omega\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)

et de rayon

0,\!5

et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées sont situés entièrement entre la courbe

(\mathscr{C})

et la courbe

(\mathscr{C}')

. Déterminer une valeur approchée, en unités d'aire au centième près, de l'aire de cette partie grisée du plan.

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2020

Partie A
On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb R

par

f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}

.
On donne ci-dessous la courbe représentative

\mathscr{C}

de la fonction

f

dans un repère orthonormé.

1.Calculer la limite de la fonction

f

en

-\infty

et interpréter graphiquement le résultat.

2.Montrer que la droite d'équation

y = 2

est asymptote horizontale à la courbe

\mathscr{C}

.

3.Calculer

f'(x)

,

f'

étant la fonction dérivée de

f

, et vérifier que, pour tout nombre réel

x

, on a 

f'(x) = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x + 1}

.

4.Montrer que la fonction

f

est croissante sur

\mathbb R

.

5.Montrer que la courbe

\mathscr{C}

passe par le point 

\text I(0~;~1)

et que sa tangente en ce point a pour coefficient directeur

0,\!5

.

Partie B

Une entreprise souhaite fabriquer de façon automatisé des flûtes (verres à pied) de forme allongée de contenance

12,\!5

cL. Chaque flûte est composée de deux parties comme sur l'illustration ci-dessous : un pied en verre plein et un contenant de

12,\!5

cL.

À l'aide de la fonction 

f

définie dans lapartie A, le fabricant modélise le profil du contenant de la flûte de la manière décrite ci-dessous.
Soit

\text A

un point de

\mathscr{C}

d'abscisse

a

strictement positive. La rotation autour de l'axe des abscisses appliquée à la partie de

\mathscr{C}

limitée par les points

\text I

et

\text A

engendre une surface modélisant le contenant de la flûte en prenant pour unité

1

cm.
Ainsi

x

et

f(x)

représentent des longueurs en centimètres et l'objectif de cette partie est de déterminer la valeur de

a

pour que le volume du contenant soit égal à

12,\!5

cL.

Une unité représente

1

cm. La valeur de 

a

utilisée sur le graphique ci-dessus ne correspond pas à la valeur cherchée.
Le réel 

a

étant strictement positif, on admet que le volume

V(a)

de ce solide en cm

{}^3

est donné par la formule 

V(a) = \pi\displaystyle\int_0^a (f(x))^2\:\text{d}x

.

1.Vérifier, pour tout nombre réel

x \geqslant 0

, l'égalité 

(f(x))^2 = 4\left(\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{- \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\right)

.

2. Déterminer une primitive sur

\mathbb R

de chacune des fonctions 

g : x \longmapsto \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}

et

h : x \longmapsto \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}

.

3. En déduire que, pour tout réel

a > 0

,

V(a) = 4\pi\left[\ln \left(\dfrac{\text{e}^a + 1}{2} \right) + \dfrac{1}{\text{e}^a + 1} - \dfrac{1}{2}\right]

.

4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de 

a

à

0,\!1

près, sachant qu'une flûte doit contenir 

12,\!5

 cL, c'est-à-dire

125

cm

{}^3

. Aucune justification n'est attendue.

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2019

On donne ci-dessous la représentation graphique

\mathscr{C}_g

dans un repère orthogonal d'une fonction 

g

 définie et continue sur

\mathbb R

.
La courbe

\mathscr{C}_g

est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan

y > 0

.

Pour tout

t \in \mathbb R

, on pose

G(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}u

.

Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.

1.La fonction

G

est-elle croissante sur

[0~; +\infty[

? Justifier.

2.Justifier graphiquement l'inégalité 

G(1) \leqslant 0,\!9

.

3.La fonction 

G

est-elle positive sur

\mathbb R

 ? Justifier.

Dans la suite du problème, la fonction

g

est définie sur

\mathbb R

par

g(u) = \text{e}^{-u^2}

.

Partie B

1.Étude de\(\boldsymbol g\)
    a. Déterminer les limites de la fonction

g

 aux bornes de son ensemble de définition.b.Calculer la fonction dérivée de 

g

et en déduire le tableau de variations de 

g

sur

\mathbb R

.c.Préciser le maximum de

g

sur

\mathbb R

. En déduire que

g(1) \leqslant 1

.

2.On note

E

l'ensemble des points

\text M

situés entre la courbe

\mathscr{C}_g

, l'axe des abscisses et les droites d'équations 

x = 0

et

x=1

. On appelle

I

l'aire de cet ensemble. 
On rappelle que 

I = G(1) = \displaystyle\int_0^1 g(u)\:\text{d}u

.

On souhaite estimer l'aire

I

par la méthode dite « de Monte-Carlo » décrite ci-dessous.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On choisit un point

\text M(x~;~y)

en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées

x

et

y

dans l'intervalle

[0~;~ 1]

. On admet que la probabilité que le point

\text M

appartienne à l'ensemble 

E

est égale à

I

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On répète

n

fois l'expérience du choix d'un point

\text M

au hasard. On compte le nombre 

c

de points appartenant à l'ensemble

E

parmi les

n

points obtenus.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fréquence

f = \dfrac{c}{n}

est une estimation de la valeur de

I

.

a. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour

n = 100

. Déterminer la valeur de

f

correspondant à ce graphique.

b.L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre

f

. Recopier et compléter cet algorithme.

\begin{array}{|l|}\hline\text{def mcarlo}(n):\\\quad c=0\\\quad \text{for }i \text{ in range }(1,n+1):\\\qquad x=\text{random()}\\\qquad y=\text{random()}\\\qquad \text{If } y<=\ldots\text{ then} :\\\qquad \qquad c= \ldots \\\qquad f = \ldots \\\quad \text{return f}\\\hline\end{array}

*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016

Sur le graphique ci-dessous,

\mathscr{C}

est la courbe représentative, dans le repère orthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)

, d'une fonction

f

définie sur

\mathbb R

.

Partie A - Étude graphique

La droite

T

est tangente à

\mathscr{C}

au point

\text A(2,\!5~;~1,\!5)

et d'ordonnée à l'origine

2,\!75

.
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à

\mathscr{C}

au voisinage de

+\infty

. 
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :
1.

f(1)

2.

f'(2,\!5)

3. une équation de la tangente

T

4.

\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)

Partie B - Modélisation

On admet qu'il existe deux réels

a

et

b

 tels que, pour tout réel

x

,

f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+2,5}

.

1.Calculer

f'(x)

en fonction de

a

et

b

.

2.Exprimer en fonction des réels

a

et

b

les nombres 

f(1)

et

f'(2,\!5)

.

3.Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par

a

et

b

.

4.Résoudre ce système et en déduire l'expression de

f(x)

en fonction de

x

.

Partie C - Étude algébrique

On admet que, pour tout réel

x

,

f(x) = (x - 1)\text{e}^{-x+2,5}

.

1.Déterminer la limite de

f

en

- \infty

.

2. a.Montrer que, pour tout réel

x

,

f(x) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right)

.b.Déterminer la limite de 

f

en

+ \infty

.

3. a.Calculer

f'(x)

pour tout réel

x

.b.Étudier le signe de

f'

et en déduire le tableau des variations de la fonction 

f

en faisant figurer les limites trouvées précédemment.

Partie D - Application

On souhaite déterminer l'aire

S

en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-dessous.
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.

Dans le plan muni du repère orthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)

, cette surface correspond à la partie du plan limitée par :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;l'axe des abscisses ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;les droites d'équations

x = 1

et

x = 2,\!5

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la courbe représentative

\mathscr{C}

de la fonction

f

étudiée précédemment ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la courbe représentative

\mathscr{C}_g

de la fonction

g

définie pour tout réel par 

g(x) = -2x^2 + 12x - 16

.

1.Sur le graphique ci-dessous, hachurer la surface décrite précédemment.

Pour déterminer l'aire 

S

de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.

2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale

I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x

.

3.On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale

J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x

où

f

est la fonction dont une expression est donnée dans lapartie C.a. Vérifier qu'une primitive

F

de la fonction

f

sur

\mathbb R

 est la fonction définie pour tout réel

x

par

F(x) = - x \text{e}^{-x+2,5}

.b.En déduire la valeur exacte de l'intégrale

J

.

4. a. Déterminer la valeur exacte de l'aire 

S

en unités d'aire.b.En déduire la valeur arrondie à

10^{-2}

de l'aire 

S

en unités d'aire.

*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par

\mathscr{C}_1

la courbe représentative de la fonction

f_1

définie sur

\mathbb R

par

f_1(x) = x + \text{e}^{-x}

.

1. Justifier que

\mathscr{C}_1

passe par le point

\text A

de coordonnées

(0~;~1)

.

2. Déterminer le tableau de variation de la fonction

f_1

. On précisera les limites de

f_1

en

+ \infty

et en

- \infty

.

Partie B
L’objet de cette partie est d'étudier la suite

\left(I_n\right)

définie sur 

\mathbb N

par

\displaystyle I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x

.

1.Dans le plan muni d'un repère orthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)

 pour tout entier naturel

n

, on note 

\mathscr{C}_n

la courbe représentative de la fonction

f_n

définie sur

\mathbb R

par

f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}

.
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe

\mathscr{C}_n

pour plusieurs valeurs de l'entier 

n

et la droite

\mathscr{D}

d'équation

x = 1

.

    a.Interpréter géométriquement l'intégrale

I_{n}

.b.En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite

\left(I_n\right)

et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

2.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à

1

,

\displaystyle I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x

.
En déduire le signe de

I_{n+1} - I_{n}

puis démontrer que la suite

\left(I_n\right)

est convergente.

3.Déterminer l'expression de

I_{n}

en fonction de

n

et déterminer la limite de la suite

\left(I_n\right)

.

*** Ancien sujet de bac : Nouvelle-Calédonie, mars 2014

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 

\mathscr{C}

d'une fonction

f

définie et dérivable sur

\mathbb R

, dans un repère orthonormé du plan. 
On note

f'

la fonction dérivée de

f

.
La courbe

\mathscr{C}

passe par le point

\text A (0~;~5)

et par le point 

\text B

d'abscisse

2

.
La tangente

\mathscr{T}_{\text{A}}

à la courbe au point

\text A

passe par le point 

\text C(1~;~1)

et la tangente

\mathscr{T}_{\text{B}}

au point

\text B

est horizontale.

Partie A

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1.La valeur de

f(0)

est :
    a.

- 4

b.

4

c.

1,\!2

    d.autre réponse

2.La valeur de

f'(0)

est :
    a.

- 4

b.

4

c.

1,\!2

    d.autre réponse

3.La valeur de

f'(2)

est :
    a.

0

b.

2,\!1

c.

3

    d.autre réponse

4.Un encadrement de

\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x

par des entiers naturels est :a.

3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 4

b.

5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7

c.

2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 5

d.

0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 2

Partie B

La fonction

f

représentée dans la PartieA est définie sur 

\mathbb R

par : 

f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3

.

1. On admet que la limite de la fonction 

f

en

+ \infty

est

3

. Déterminer la limite de 

f

en

- \infty

.

2.On désigne par

f'

la fonction dérivée de la fonction 

f

et on admet que, pour tout nombre réel 

x

appartenant à 

\mathbb R

,

f'(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{- x}

.
    a.Étudier le signe de

f'

suivant les valeurs de

x

.b.En déduire le tableau de variations de la fonction

f

.

3.On considère la fonction

F

définie sur 

\mathbb R

par

F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x

. Vérifier que la fonction 

F

est une primitive de la fonction

f

sur

\mathbb R

.

4. On considère le domaine

\mathscr{D}

du plan limité par la courbe

\mathscr{C}

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = 0

et

x = 2

.a.Calculer la valeur exacte de l'aire

\mathscr{A}

, exprimée en unités d'aire, du domaine

\mathscr{D}

.b.Donner une valeur approchée de

\mathscr{A}

au centième.

S'entraîner

* Calculs d'intégrales

* Intégrales et suites (1)

* Calcul de l'aire entre deux courbes

* QCM

** Courbe de Lorenz et indice de Gini - Grand Oral

** Intégrales et suites (2)

** Encadrement d'une intégrale

*** IPP impossible ?

*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2020

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2019

*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016

*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014

*** Ancien sujet de bac : Nouvelle-Calédonie, mars 2014