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Calculer les intégrales suivantes.

Sommaire

* Calculs d'intégrales* Intégrales et suites (1)* Calcul de l'aire entre deux courbes* QCM
** Courbe de Lorenz et indice de Gini - Grand Oral** Intégrales et suites (2)** Encadrement d'une intégrale
*** IPP impossible ?*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2020*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2019*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014
*** Ancien sujet de bac : Nouvelle-Calédonie, mars 2014

* Calculs d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes.
1.
I=∫012t(t2+4)3 dtI = \displaystyle \int_0^1 2t(t^2+4)^3 \text{ d}tI=∫01​2t(t2+4)3 dt
2.
I=∫12x+1(2x2+4x)2 dxI = \displaystyle \int_1^2 \dfrac{x+1}{(2x^2+4x)^2} \text{ d}xI=∫12​(2x2+4x)2x+1​ dx
3.
I=∫34t−1t2−2t dtI = \displaystyle \int_3^4 \dfrac{t-1}{t^2-2t} \text{ d}tI=∫34​t2−2tt−1​ dt
4.
I=∫−1031−2x dxI = \displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{3}{\sqrt{1-2x}} \text{ d}xI=∫−10​1−2x​3​ dx
5.
I=∫131e2x+3 dxI=\displaystyle \int_\frac{1}{3}^1 \text e^{2x+3} \text{ d}xI=∫31​1​e2x+3 dx

* Intégrales et suites (1)

Pour tout entier naturel
nnn
 non nul, on pose
In=∫nn+11x dxI_n=\displaystyle \int_n^{n+1} \dfrac1x \text{ d}xIn​=∫nn+1​x1​ dx
.
1.Démontrer que, pour tout
nnn
entier naturel non nul, on a
1n+1⩽In⩽1n\dfrac{1}{n+1}\leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n}n+11​⩽In​⩽n1​
.
2.La suite
(In)(I_n)(In​)
est-elle convergente ?

* Calcul de l'aire entre deux courbes

On considère les fonctions
fff
et
ggg
définies sur
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
par
f(x)=xf(x)=\sqrt xf(x)=x​
et
g(x)=xg(x)=xg(x)=x
.
On note
CfC_fCf​
et
CgC_gCg​
les courbes représentatives des fonctions
fff
et
ggg
dans un repère orthogonal du plan.
1.Étudier la position relative des courbes
CfC_fCf​
et
CgC_gCg​
sur 
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
.
2.En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes
CfC_fCf​
 et
CgC_gCg​
, et les droites d'équations
x=0x=0x=0
et
x=1x=1x=1
.

* QCM

1.L'intégrale
∫ln⁡2ln⁡3e2x dx\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x∫ln2ln3​e2xdx
est égale à :
    a.
555
    b.
101010
    c.
2,52{,}52,5
    d.
111
2.Soit
fff
la fonction définie sur l'intervalle
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
par
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}f(x)=x1​
.
Sa courbe représentative, dans un repère orthonormé, est donnée ci-dessous.
Le domaine du plan défini comme l'ensemble des points
M\text MM
de coordonnées
(x ; y)(x~;~y)(x ; y)
qui vérifient
1⩽x⩽21 \leqslant x \leqslant 21⩽x⩽2
et
1x⩽y⩽1\dfrac{1}{x} \leqslant y \leqslant 1x1​⩽y⩽1
a pour aire (exprimée en unités d'aire) :
    a.
ln⁡2\ln 2ln2
    b.
12\dfrac{1}{2}21​
    c.
1−ln⁡21 - \ln 21−ln2
    d.
1−e21 - \text{e}^21−e2
3.Soit
fff
la fonction définie, pour tout réel
ttt
positif, par
f(t)=8e−0,12t+11f(t) = 8\text{e}^{-0,12t} + 11f(t)=8e−0,12t+11
.
La valeur moyenne de
fff
arrondie à
10−110^{-1}10−1
sur l'intervalle 
[0 ; 24][0~;~24][0 ; 24]
est : 
    a.
15,215{,}215,2
    b.
13,613{,}613,6
    c.
16,716{,}716,7
    d.
11,211{,}211,2
5.L'intégrale
∫1ln⁡2e−x dx\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text e^{-x}\ \mathrm{d}x∫1ln2​e−x dx
est égale à : 
    a.
ln⁡2−1\ln2-1ln2−1
    b.
1−ee\dfrac{1-\text e}{\text e}e1−e​
    c.
2−e2e\dfrac{2-\text e}{2\text e}2e2−e​
    d.
1−ln⁡21-\ln21−ln2

** Courbe de Lorenz et indice de Gini - Grand Oral

On appelle courbe de Lorenz une courbe représentative d'une fonction
fff
 satisfaisant les conditions suivantes :
fff
 est continue sur
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
 ;
f(0)=0f(0)=0f(0)=0
 et
f(1)=1f(1)=1f(1)=1
 ;
∀x∈[0 ; 1], 0⩽f(x)⩽x\forall x\in[0~;~1],\,0\leqslant f(x)\leqslant x∀x∈[0 ; 1],0⩽f(x)⩽x
.
On utilise la courbe de Lorenz par exemple en SES pour illustrer les inégalités de revenus ou de patrimoine.
Courbe de Lorenz des revenus et du patrimoine en France (2018)
Lecture :
808080
% des ménages (en abscisses) possèdent
353535
% du patrimoine brut total (en ordonnées).
On appelle indice, ou coefficient, de Gini le nombre
G\mathcal{G}G
défini de la façon suivante : 
G=1−2∫01f(x)\mboxdx\mathcal{G}={\displaystyle 1-2\int_{0}^{1}f(x)\mbox{d}x}G=1−2∫01​f(x)\mboxdx
.
G\mathcal{G}G
est un nombre compris entre
000
et
111
 : 
000
 représente l'égalité parfaite (le patrimoine total est équiréparti entre les ménages)et\(1\)l'inégalité parfaite (un seul ménage détient l'ensemble du patrimoine total).
À titre d'exemple, l'indice de Gini est d'environ
0,250{,}250,25
 en Slovaquie,
0,300{,}300,30
 en France, \(0{,}40\) aux États Unis et
0,630{,}630,63
 en Afrique du Sud.
On considère que la répartition du patrimoine dans un pays donné est modélisée par la fonction 
fff
définie sur
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
 par 
f(x)=x3+x2f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{2}f(x)=2x3+x​
.
1.Vérifier que la courbe représentative de
fff
 est une courbe de Lorenz.
2.Calculer l'indice de Gini de ce pays.

** Intégrales et suites (2)

Soit
(In)(I_n)(In​)
la suite définie, pour tout entier naturel
nnn
, par
In=∫1ex(ln⁡(x))n dx\displaystyle I_n=\int_{1}^{\text e} x(\ln(x))^n \text{ d}xIn​=∫1e​x(ln(x))n dx
.
1.Calculer
I0I_0I0​
puis
I1I_1I1​
.
2.À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation suivante : pour tout entier naturel
nnn
, on a 
2In+1+(n+1)In=e22I_{n+1}+(n+1)I_n=\text e^{2}2In+1​+(n+1)In​=e2
. En déduire
I2I_2I2​
.
2. a.Démontrer que 
(In)(I_n)(In​)
 est décroissante.b.En déduire l'encadrement suivant : pour tout entier naturel
nnn
, on a
e2n+3⩽In⩽e2n+2\dfrac{\text e^2}{n+3}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{\text e^2}{n+2}n+3e2​⩽In​⩽n+2e2​
.
    c.Déterminer alors
lim⁡n→+∞In\displaystyle \lim_{n\to +\infty} I_nn→+∞lim​In​
et
lim⁡n→+∞nIn\displaystyle \lim_{n\to +\infty} nI_nn→+∞lim​nIn​
.d.Donnerun entier naturel
ppp
tel que
IpI_pIp​
est inférieur à
10−210^{-2}10−2
.

** Encadrement d'une intégrale

On considère l'intégrale 
I=∫031+x2 dxI= \displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+x^2} \text{ d}xI=∫03​1+x2​ dx
.
1.Justifier que, pour tout
x∈[0 ; 3]x\in[0~;~3]x∈[0 ; 3]
, on a 
x⩽1+x2⩽x+1x\leqslant \sqrt{1+x^2} \leqslant x+1x⩽1+x2​⩽x+1
.
2.En déduire un encadrement de
III
.

*** IPP impossible ?

À l'aide d'une intégration par parties astucieusement choisie, calculer
∫012x3ex2\mboxdx\displaystyle \int_{0}^{1}2x^{3}\text{e}^{x^{2}}\mbox{d}x∫01​2x3ex2\mboxdx
.
Si, si, c'est possible !

*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020

On considère la fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
par 
f(x)=xe−x2+1f(x) = x\text{e}^{-x^2+1}f(x)=xe−x2+1
.
On note
(C)(\mathscr{C})(C)
la courbe représentative de 
fff
 dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
.
1. a.Montrer que, pour tout
xxx
réel,
f(x)=ex×x2ex2f(x) = \dfrac{\text{e}}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}f(x)=xe​×ex2x2​
.b.En déduire la limite de
f(x)f(x)f(x)
lorsque 
xxx
tend vers 
+∞+ \infty+∞
.
2.Pour tout réel 
xxx
, on considère les points
M\text MM
et
N\text NN
de la courbe
(C)(\mathscr{C})(C)
d'abscisses respectives 
xxx
et
−x-x−x
.a.Montrer que le point
O\text OO
est le milieu du segment
[MN]\mathrm{[MN]}[MN]
.b.Que peut-on en déduire pour la courbe 
(C)(\mathscr{C})(C)
?
3.Étudier les variations de la fonction 
fff
sur l'intervalle
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
.
4. a.Montrer que l'équation
f(x)=0, ⁣5f(x) = 0,\!5f(x)=0,5
admet sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
 exactement deux solutions notées
α\alphaα
et
β\betaβ
(avec
α<β\alpha < \betaα<β
).b.En déduire les solutions sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
de l'inéquation
f(x)⩾0, ⁣5f(x) \geqslant 0,\!5f(x)⩾0,5
.c.Donner une valeur approchée à 
10−210^{-2}10−2
près de
α\alphaα
et
β\betaβ
.
5.Soit
AAA
un réel strictement positif. On pose
IA=∫0Af(x) dxI_A = \displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}xIA​=∫0A​f(x)dx
.a. Justifier que
IA=12(e−e−A2+1)I_A = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}- \text{e}^{-A^2+1}\right)IA​=21​(e−e−A2+1)
.b. Calculer la limite de
IAI_AIA​
lorsque
AAA
tend vers
+∞+\infty+∞
. On admet que cette limite est l'aire, en unité d'aire, située entre la partie de la courbe
(C)(\mathscr{C})(C)
sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
et l'axe des abscisses.
6.Comme illustré sur le graphique ci-dessous, on s'intéresse à la partie grisée du plan qui est délimitée par :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la courbe
(C)(\mathscr{C})(C)
sur
R\mathbb RR
et la courbe
(C′)(\mathscr{C}')(C′)
symétrique de
(C)(\mathscr{C})(C)
par rapport à l'axe des abscisses ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;le cercle de centre
Ω(22 ; 0)\Omega\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)Ω(22​​ ; 0)
et de rayon
0, ⁣50,\!50,5
et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On admet que le disque de centre
Ω(22 ; 0)\Omega\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)Ω(22​​ ; 0)
et de rayon
0, ⁣50,\!50,5
et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées sont situés entièrement entre la courbe
(C)(\mathscr{C})(C)
et la courbe
(C′)(\mathscr{C}')(C′)
. Déterminer une valeur approchée, en unités d'aire au centième près, de l'aire de cette partie grisée du plan.

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2020

Partie A
On considère la fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
par 
f(x)=2exex+1f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}f(x)=ex+12ex​
.
On donne ci-dessous la courbe représentative
C\mathscr{C}C
de la fonction
fff
dans un repère orthonormé.
1.Calculer la limite de la fonction
fff
 en
−∞-\infty−∞
et interpréter graphiquement le résultat.
2.Montrer que la droite d'équation
y=2y = 2y=2
est asymptote horizontale à la courbe
C\mathscr{C}C
.
3.Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
,
f′f'f′
étant la fonction dérivée de
fff
, et vérifier que, pour tout nombre réel
xxx
, on a 
f′(x)=f(x)ex+1f'(x) = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x + 1}f′(x)=ex+1f(x)​
.
4.Montrer que la fonction
fff
est croissante sur
R\mathbb RR
.
5.Montrer que la courbe
C\mathscr{C}C
passe par le point 
I(0 ; 1)\text I(0~;~1)I(0 ; 1)
et que sa tangente en ce point a pour coefficient directeur
0, ⁣50,\!50,5
.
Partie B
Une entreprise souhaite fabriquer de façon automatisé des flûtes (verres à pied) de forme allongée de contenance
12, ⁣512,\!512,5
cL. Chaque flûte est composée de deux parties comme sur l'illustration ci-dessous : un pied en verre plein et un contenant de
12, ⁣512,\!512,5
 cL.
À l'aide de la fonction 
fff
définie dans lapartie A, le fabricant modélise le profil du contenant de la flûte de la manière décrite ci-dessous.
Soit
A\text AA
un point de
C\mathscr{C}C
d'abscisse
aaa
strictement positive. La rotation autour de l'axe des abscisses appliquée à la partie de
C\mathscr{C}C
limitée par les points
I\text II
et
A\text AA
engendre une surface modélisant le contenant de la flûte en prenant pour unité
111
cm.
Ainsi
xxx
et
f(x)f(x)f(x)
représentent des longueurs en centimètres et l'objectif de cette partie est de déterminer la valeur de
aaa
pour que le volume du contenant soit égal à
12, ⁣512,\!512,5
 cL.
Une unité représente
111
cm. La valeur de 
aaa
utilisée sur le graphique ci-dessus ne correspond pas à la valeur cherchée.
Le réel 
aaa
étant strictement positif, on admet que le volume
V(a)V(a)V(a)
de ce solide en cm
3{}^33
est donné par la formule 
V(a)=π∫0a(f(x))2 dxV(a) = \pi\displaystyle\int_0^a (f(x))^2\:\text{d}xV(a)=π∫0a​(f(x))2dx
.
1.Vérifier, pour tout nombre réel
x⩾0x \geqslant 0x⩾0
, l'égalité 
(f(x))2=4(exex+1+−ex(ex+1)2)(f(x))^2 = 4\left(\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{- \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\right)(f(x))2=4(ex+1ex​+(ex+1)2−ex​)
.
2. Déterminer une primitive sur
R\mathbb RR
de chacune des fonctions 
g:x⟼exex+1g : x \longmapsto \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}g:x⟼ex+1ex​
et
h:x⟼−ex(ex+1)2h : x \longmapsto \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}h:x⟼(ex+1)2−ex​
.
3. En déduire que, pour tout réel
a>0a > 0a>0
,
V(a)=4π[ln⁡(ea+12)+1ea+1−12]V(a) = 4\pi\left[\ln \left(\dfrac{\text{e}^a + 1}{2} \right) + \dfrac{1}{\text{e}^a + 1} - \dfrac{1}{2}\right]V(a)=4π[ln(2ea+1​)+ea+11​−21​]
.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de 
aaa
à
0, ⁣10,\!10,1
près, sachant qu'une flûte doit contenir 
12, ⁣512,\!512,5
 cL, c'est-à-dire
125125125
cm
3{}^33
. Aucune justification n'est attendue.

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2019

On donne ci-dessous la représentation graphique
Cg\mathscr{C}_gCg​
dans un repère orthogonal d'une fonction 
ggg
 définie et continue sur
R\mathbb RR
.
La courbe
Cg\mathscr{C}_gCg​
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et se situe dans le demi-plan
y>0y > 0y>0
.
Pour tout
t∈Rt \in \mathbb Rt∈R
, on pose
G(t)=∫0tg(u) duG(t) = \displaystyle\int_0^t g(u)\:\text{d}uG(t)=∫0t​g(u)du
.
Partie A
Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s'appuyer sur des considérations graphiques.
1.La fonction
GGG
est-elle croissante sur
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
? Justifier.
2.Justifier graphiquement l'inégalité 
G(1)⩽0, ⁣9G(1) \leqslant 0,\!9G(1)⩽0,9
.
3.La fonction 
GGG
est-elle positive sur
R\mathbb RR
 ? Justifier.
Dans la suite du problème, la fonction
ggg
est définie sur
R\mathbb RR
par
g(u)=e−u2g(u) = \text{e}^{-u^2}g(u)=e−u2
.
Partie B
1.Étude de\(\boldsymbol g\)
    a. Déterminer les limites de la fonction
ggg
 aux bornes de son ensemble de définition.b.Calculer la fonction dérivée de 
ggg
et en déduire le tableau de variations de 
ggg
sur
R\mathbb RR
.c.Préciser le maximum de
ggg
sur
R\mathbb RR
. En déduire que
g(1)⩽1g(1) \leqslant 1g(1)⩽1
.
2.On note
EEE
l'ensemble des points
M\text MM
situés entre la courbe
Cg\mathscr{C}_gCg​
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
x=0x = 0x=0
et
x=1x=1x=1
. On appelle
III
l'aire de cet ensemble. 
On rappelle que 
I=G(1)=∫01g(u) duI = G(1) = \displaystyle\int_0^1 g(u)\:\text{d}uI=G(1)=∫01​g(u)du
.
On souhaite estimer l'aire
III
par la méthode dite « de Monte-Carlo » décrite ci-dessous.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On choisit un point
M(x ; y)\text M(x~;~y)M(x ; y)
en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées
xxx
et
yyy
dans l'intervalle
[0 ; 1][0~;~ 1][0 ; 1]
. On admet que la probabilité que le point
M\text MM
appartienne à l'ensemble 
EEE
est égale à
III
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On répète
nnn
fois l'expérience du choix d'un point
M\text MM
au hasard. On compte le nombre 
ccc
de points appartenant à l'ensemble
EEE
parmi les
nnn
points obtenus.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La fréquence
f=cnf = \dfrac{c}{n}f=nc​
est une estimation de la valeur de
III
.
a. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour
n=100n = 100n=100
. Déterminer la valeur de
fff
correspondant à ce graphique.
b.L'exécution de l'algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre
fff
. Recopier et compléter cet algorithme.
def mcarlo(n):c=0for i in range (1,n+1):x=random()y=random()If y<=… then:c=…f=…return f\begin{array}{|l|}\hline\text{def mcarlo}(n):\\\quad c=0\\\quad \text{for }i \text{ in range }(1,n+1):\\\qquad x=\text{random()}\\\qquad y=\text{random()}\\\qquad \text{If } y<=\ldots\text{ then} :\\\qquad \qquad c= \ldots \\\qquad f = \ldots \\\quad \text{return f}\\\hline\end{array}def mcarlo(n):c=0for i in range (1,n+1):x=random()y=random()If y<=… then:c=…f=…return f​​

*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016

Sur le graphique ci-dessous,
C\mathscr{C}C
est la courbe représentative, dans le repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
, d'une fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
.
Partie A - Étude graphique
La droite
TTT
est tangente à
C\mathscr{C}C
au point
A(2, ⁣5 ; 1, ⁣5)\text A(2,\!5~;~1,\!5)A(2,5 ; 1,5)
et d'ordonnée à l'origine
2, ⁣752,\!752,75
.
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à
C\mathscr{C}C
au voisinage de
+∞+\infty+∞
. 
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :
1.
f(1)f(1)f(1)
2.
f′(2, ⁣5)f'(2,\!5)f′(2,5)
3. une équation de la tangente
TTT
4.
lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)x→+∞lim​f(x)
Partie B - Modélisation
On admet qu'il existe deux réels
aaa
et
bbb
 tels que, pour tout réel
xxx
,
f(x)=(ax+b)e−x+2,5f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+2,5}f(x)=(ax+b)e−x+2,5
.
1.Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
en fonction de
aaa
et
bbb
 .
2.Exprimer en fonction des réels
aaa
et
bbb
les nombres 
f(1)f(1)f(1)
et
f′(2, ⁣5)f'(2,\!5)f′(2,5)
.
3.Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par
aaa
et
bbb
 .
4.Résoudre ce système et en déduire l'expression de
f(x)f(x)f(x)
en fonction de
xxx
.
Partie C - Étude algébrique
On admet que, pour tout réel
xxx
,
f(x)=(x−1)e−x+2,5f(x) = (x - 1)\text{e}^{-x+2,5}f(x)=(x−1)e−x+2,5
.
1.Déterminer la limite de
fff
en
−∞- \infty−∞
.
2. a.Montrer que, pour tout réel
xxx
, 
f(x)=e2,5(xex−1ex)f(x) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right)f(x)=e2,5(exx​−ex1​)
.b.Déterminer la limite de 
fff
en
+∞+ \infty+∞
.
3. a.Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
pour tout réel
xxx
.b.Étudier le signe de
f′f'f′
et en déduire le tableau des variations de la fonction 
fff
en faisant figurer les limites trouvées précédemment.
Partie D - Application
On souhaite déterminer l'aire
SSS
en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-dessous.
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.
Dans le plan muni du repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
, cette surface correspond à la partie du plan limitée par :
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;l'axe des abscisses ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;les droites d'équations
x=1x = 1x=1
et
x=2, ⁣5x = 2,\!5x=2,5
;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la courbe représentative
C\mathscr{C}C
de la fonction
fff
étudiée précédemment ;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;la courbe représentative
Cg\mathscr{C}_gCg​
de la fonction
ggg
définie pour tout réel par 
g(x)=−2x2+12x−16g(x) = -2x^2 + 12x - 16g(x)=−2x2+12x−16
.
1.Sur le graphique ci-dessous, hachurer la surface décrite précédemment.
Pour déterminer l'aire 
SSS
de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale
I=∫22,5g(x) dxI = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}xI=∫22,5​g(x)dx
.
3.On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale
J=∫12,5f(x) dxJ = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}xJ=∫12,5​f(x)dx
 où
fff
est la fonction dont une expression est donnée dans lapartie C.a. Vérifier qu'une primitive
FFF
de la fonction
fff
sur
R\mathbb RR
 est la fonction définie pour tout réel
xxx
par
F(x)=−xe−x+2,5F(x) = - x \text{e}^{-x+2,5}F(x)=−xe−x+2,5
.b.En déduire la valeur exacte de l'intégrale
JJJ
.
4. a. Déterminer la valeur exacte de l'aire 
SSS
en unités d'aire.b.En déduire la valeur arrondie à
10−210^{-2}10−2
de l'aire 
SSS
en unités d'aire.

*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014

Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par
C1\mathscr{C}_1C1​
la courbe représentative de la fonction
f1f_1f1​
définie sur
R\mathbb RR
 par
f1(x)=x+e−xf_1(x) = x + \text{e}^{-x}f1​(x)=x+e−x
.
1. Justifier que
C1\mathscr{C}_1C1​
passe par le point
A\text AA
de coordonnées
(0 ; 1)(0~;~1)(0 ; 1)
.
2. Déterminer le tableau de variation de la fonction
f1f_1f1​
. On précisera les limites de
f1f_1f1​
en
+∞+ \infty+∞
et en
−∞- \infty−∞
.
Partie B
L’objet de cette partie est d'étudier la suite
(In)\left(I_n\right)(In​)
définie sur 
N\mathbb NN
par 
In=∫01(x+e−nx) dx\displaystyle I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}xIn​=∫01​(x+e−nx)dx
.
1.Dans le plan muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
 pour tout entier naturel
nnn
, on note 
Cn\mathscr{C}_nCn​
la courbe représentative de la fonction
fnf_nfn​
définie sur
R\mathbb RR
 par 
fn(x)=x+e−nxf_n(x) = x + \text{e}^{- nx}fn​(x)=x+e−nx
.
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe
Cn\mathscr{C}_nCn​
pour plusieurs valeurs de l'entier 
nnn
et la droite
D\mathscr{D}D
d'équation
x=1x = 1x=1
.
    a.Interpréter géométriquement l'intégrale
InI_{n}In​
.b.En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite
(In)\left(I_n\right)(In​)
et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.
2.Démontrer que, pour tout entier naturel
nnn
supérieur ou égal à
111
, 
In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex) dx\displaystyle I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}xIn+1​−In​=∫01​e−(n+1)x(1−ex)dx
.
En déduire le signe de
In+1−InI_{n+1} - I_{n}In+1​−In​
puis démontrer que la suite
(In)\left(I_n\right)(In​)
est convergente.
3.Déterminer l'expression de
InI_{n}In​
en fonction de
nnn
et déterminer la limite de la suite
(In)\left(I_n\right)(In​)
.

*** Ancien sujet de bac : Nouvelle-Calédonie, mars 2014

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 
C\mathscr{C}C
d'une fonction
fff
définie et dérivable sur
R\mathbb RR
, dans un repère orthonormé du plan. 
On note
f′f'f′
la fonction dérivée de
fff
.
La courbe
C\mathscr{C}C
passe par le point
A(0 ; 5)\text A (0~;~5)A(0 ; 5)
et par le point 
B\text BB
d'abscisse
222
.
La tangente
TA\mathscr{T}_{\text{A}}TA​
à la courbe au point
A\text AA
passe par le point 
C(1 ; 1)\text C(1~;~1)C(1 ; 1)
et la tangente
TB\mathscr{T}_{\text{B}}TB​
au point
B\text BB
est horizontale.
Partie A
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point.
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1.La valeur de
f(0)f(0)f(0)
est :
    a.
−4- 4−4
    b.
444
    c.
1, ⁣21,\!21,2
    d.autre réponse
2.La valeur de
f′(0)f'(0)f′(0)
est :
    a.
−4- 4−4
    b.
444
    c.
1, ⁣21,\!21,2
    d.autre réponse
3.La valeur de
f′(2)f'(2)f′(2)
est :
    a.
000
    b.
2, ⁣12,\!12,1
    c.
333
    d.autre réponse
4.Un encadrement de
∫02f(x) dx\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x∫02​f(x)dx
par des entiers naturels est :a.
3⩽∫02f(x) dx⩽43 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 43⩽∫02​f(x)dx⩽4
b.
5⩽∫02f(x) dx⩽75 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 75⩽∫02​f(x)dx⩽7
c.
2⩽∫02f(x) dx⩽52 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 52⩽∫02​f(x)dx⩽5
d.
0⩽∫02f(x) dx⩽20 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 20⩽∫02​f(x)dx⩽2
Partie B
La fonction
fff
représentée dans la PartieA est définie sur 
R\mathbb RR
par : 
f(x)=(−x2−2x+2)e−x+3f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3f(x)=(−x2−2x+2)e−x+3
.
1. On admet que la limite de la fonction 
fff
en
+∞+ \infty+∞
est
333
. Déterminer la limite de 
fff
en
−∞- \infty−∞
.
2.On désigne par
f′f'f′
la fonction dérivée de la fonction 
fff
et on admet que, pour tout nombre réel 
xxx
appartenant à 
R\mathbb RR
, 
f′(x)=(x2−4)e−xf'(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{- x}f′(x)=(x2−4)e−x
.
    a.Étudier le signe de
f′f'f′
suivant les valeurs de
xxx
.b.En déduire le tableau de variations de la fonction
fff
.
3.On considère la fonction
FFF
définie sur 
R\mathbb RR
par 
F(x)=(x2+4x+2)e−x+3xF(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3xF(x)=(x2+4x+2)e−x+3x
. Vérifier que la fonction 
FFF
est une primitive de la fonction
fff
sur
R\mathbb RR
.
4. On considère le domaine
D\mathscr{D}D
du plan limité par la courbe
C\mathscr{C}C
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
x=0x = 0x=0
et
x=2x = 2x=2
.a.Calculer la valeur exacte de l'aire
A\mathscr{A}A
, exprimée en unités d'aire, du domaine
D\mathscr{D}D
.b.Donner une valeur approchée de
A\mathscr{A}A
au centième.