L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
Pour tout entier
supérieur ou égal à
, on désigne par
la fonction définie sur
par
.
On note
la courbe représentative de la fonction
dans un repère
du plan.
On désigne par
la suite définie pour tout entier
supérieur ou égal à
par
.
1. a.On désigne par
la fonction définie sur
par
. Vérifier que
est une primitive de la fonction
.b.Calculer
.
2.À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout
supérieur ou égal à
,
.
3.Calculer
.
4.On considère la fonction
écrite dans le langage Python :
\begin{array}{|l|}\hline\textrm{from math import e # la constante d'Euler e} \\\\\textrm{def mystere(n) :}\\\quad \textrm{a = 1}\\\quad \textrm{L = [a]}\\\quad \textrm{for i in range(1,n) :}\\\quad\quad \textrm{a = e - (i + 1)*a}\\\quad\quad \textrm{L.append(a)}\\\quad \textrm{return L}\\\hline\end{array}
À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel
.
Partie II
1.Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes
et
.
a. Donner une interprétation graphique de
.b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite
?
2.Montrer que, pour tout
supérieur ou égal à
,
.
3. En déduire
.
Amérique du Nord, mai 2024
Soit
un réel strictement positif.
On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par
.
On note
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit
un réel strictement supérieur à
.
1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe
et de l'axe des abscisses.
2.Vérifier que la fonction
définie par
est une primitive de la fonction
sur l'intervalle
.
3.En déduire l'aire du domaine grisé en fonction de
et de
.
On note
la tangente à la courbe
au point
d'abscisse
.
On appelle
le point d'intersection de la tangente
avec l'axe des ordonnées et
le projeté orthogonal de
sur l'axe des ordonnées.
4. Démontrer que la longueur
est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de
) que l'on déterminera.
Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.
Asie, juin 2024 (extrait)
On considère la fonction
, définie et deux fois dérivable sur
, dont l'expression est
.
On notera respectivement
et
la dérivée et la dérivée seconde de la fonction
.
1.Étude de la fonction\(\boldsymbol f\)a.Montrer que
.b.Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction
sur
. On admet que
.c.Étudier la convexité de la fonction
et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de
.
2.On considère une fonction
définie sur
par
, où
et
sont deux nombres réels.a.Déterminer les valeurs des réels
et
telles que la fonction
soit une primitive de la fonction
sur
.b.On admet que
est une primitive de la fonction
sur
. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à
près, de l'intégrale
.
3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction
sur l'intervalle
. L'unité de longueur est le mètre.
a.Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ
.b. La municipalité a organisé un concours de graffitis pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ
% de la surface du mur. Sachant qu'une bombe aérosol de
mL permet de couvrir une surface de
m², déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.
Métropole, juin 2024
Partie A-Étude de la fonction
La fonction
est définie sur l'intervalle
par
, où
désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction
est deux fois dérivable sur
, on note
sa dérivée et
sa dérivée seconde.
1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de
en
et en
.b. Montrer que, pour tout
appartenant à
, on a
.c. Étudier le sens de variation de
sur
.d. Étudier la convexité de
sur
.
2. a. Montrer que l'équation
admet dans
une solution unique qu'on notera
et justifier que
appartient à l'intervalle
.b. Déterminer le signe de
pour
.c. Montrer que
.
Partie B - Étude de la fonction\(g\)
La fonction
est définie sur
par
.
On admet que la fonction
est dérivable sur
et on note
sa fonction dérivée.
1. Calculer
pour
puis vérifier que
.
2. a. Justifier que, pour
appartenant à l'intervalle
, on a
.b. On admet le tableau de signes suivant.
En déduire le tableau de variations de
sur l’intervalle
. Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C - Un calcul d'aire
On a représenté sur le graphique ci-dessous.
On souhaite calculer l’aire
du domaine en bleu compris entre les courbes
et
, et les droites d'équations
et
. On rappelle que
.
1. a. Justifier la position relative des courbes
et
sur l’intervalle
.b. Démontrer l’égalité
.
2. En déduire l’expression en fonction de
de l’aire
.