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Les perles du BAC

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Sommaire

Sujet 0, 2024Amérique du Nord, mai 2024Asie, juin 2024 (extrait)Métropole, juin 2024

Sujet 0, 2024

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
Pour tout entier
nnn
supérieur ou égal à
111
, on désigne par
fnf_{n}fn​
la fonction définie sur
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
par 
fn(x)=xnexf_{n}(x) = x^{n} \text e^{x}fn​(x)=xnex
.
On note
CnC_{n}Cn​
la courbe représentative de la fonction
fnf_{n}fn​
dans un repère
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
du plan.
On désigne par
(In)\left(I_{n}\right)(In​)
la suite définie pour tout entier
nnn
supérieur ou égal à
111
par 
In=∫01xnex dx\displaystyle I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \text e^{x} \mathrm{~d} xIn​=∫01​xnex dx
.
1. a.On désigne par 
F1F_{1}F1​
la fonction définie sur
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
par 
F1(x)=(x−1)exF_{1}(x) = (x-1) \text e^{x}F1​(x)=(x−1)ex
. Vérifier que
F1F_{1}F1​
est une primitive de la fonction
f1f_{1}f1​
.b.Calculer 
I1I_{1}I1​
.
2.À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout
nnn
supérieur ou égal à
111
,
In+1=e−(n+1)InI_{n + 1} = \text e-(n + 1) I_{n}In+1​=e−(n+1)In​
.
3.Calculer
I2I_{2}I2​
.
4.On considère la fonction
mystere\textrm{mystere}mystere
écrite dans le langage Python :
\begin{array}{|l|}\hline\textrm{from math import e # la constante d'Euler e} \\\\\textrm{def mystere(n) :}\\\quad \textrm{a = 1}\\\quad \textrm{L = [a]}\\\quad \textrm{for i in range(1,n) :}\\\quad\quad \textrm{a = e - (i + 1)*a}\\\quad\quad \textrm{L.append(a)}\\\quad \textrm{return L}\\\hline\end{array}
À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel
mystere(5)\textrm{mystere(5)}mystere(5)
.
Partie II
1.Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes
C1,C2,C3,C10,C20C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{10}, C_{20}C1​,C2​,C3​,C10​,C20​
 et 
C30C_{30}C30​
.
a. Donner une interprétation graphique de
InI_{n}In​
.b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite 
(In)\left(I_{n}\right)(In​)
?
2.Montrer que, pour tout
nnn
supérieur ou égal à
111
, 
0⩽In⩽e∫01xn dx0 \leqslant I_{n} \leqslant \text e \displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x0⩽In​⩽e∫01​xn dx
.
3. En déduire
lim⁡n→+∞In\displaystyle \lim_{n \to + \infty} I_{n}n→+∞lim​In​
.

Amérique du Nord, mai 2024

Soit
aaa
un réel strictement positif.
On considère la fonction
fff
définie sur l'intervalle
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
par
f(x)=aln⁡(x)f(x) = a\ln(x)f(x)=aln(x)
.
On note
C\mathscr CC
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit
x0x_0x0​
un réel strictement supérieur à
111
.
1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe
C\mathscr CC
et de l'axe des abscisses.
2.Vérifier que la fonction
FFF
définie par
F(x)=a[xln⁡(x)−x]F(x) = a[x \ln(x) - x]F(x)=a[xln(x)−x]
est une primitive de la fonction 
fff
sur l'intervalle
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
.
3.En déduire l'aire du domaine grisé en fonction de 
aaa
et de
x0x_0x0​
.
On note
TTT
la tangente à la courbe
C\mathscr CC
au point
M\text MM
d'abscisse
x0x_0x0​
.
On appelle 
A\text AA
le point d'intersection de la tangente
TTT
avec l'axe des ordonnées et
B\text BB
le projeté orthogonal de 
M\text MM
sur l'axe des ordonnées.
4. Démontrer que la longueur
AB\text{AB}AB
est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de
x0x_0x0​
) que l'on déterminera.
Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.

Asie, juin 2024 (extrait)

On considère la fonction
fff
, définie et deux fois dérivable sur
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
, dont l'expression est
f(x)=(4x−2)e−x+1f(x) = (4x - 2)\text e^{-x+1}f(x)=(4x−2)e−x+1
.
On notera respectivement
f′f'f′
et
f′′f''f′′
la dérivée et la dérivée seconde de la fonction
fff
.
1.Étude de la fonction\(\boldsymbol f\)a.Montrer que
f′(x)=(−4x+6)e−x+1f'(x) = (-4x + 6)\text e^{-x+1}f′(x)=(−4x+6)e−x+1
.b.Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction 
fff
sur
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
. On admet que
lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0x→+∞lim​f(x)=0
.c.Étudier la convexité de la fonction 
fff
et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de
fff
.
2.On considère une fonction
FFF
définie sur
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
par 
F(x)=(ax+b)e−x+1F(x) = (ax + b)\text e^{-x+1}F(x)=(ax+b)e−x+1
, où
aaa
et
bbb
sont deux nombres réels.a.Déterminer les valeurs des réels
aaa
et
bbb
telles que la fonction
FFF
soit une primitive de la fonction 
fff
sur
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
.b.On admet que
F(x)=(−4x−2)e−x+1F(x) = (-4x - 2)\text e^{-x+1}F(x)=(−4x−2)e−x+1
est une primitive de la fonction
fff
sur 
[0 ;+∞[[0~; +\infty[[0 ;+∞[
. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à
10−210^{-2}10−2
près, de l'intégrale 
I=∫328f(x) dxI = \displaystyle\int_{\frac32}^8 f(x)\:\text{d}xI=∫23​8​f(x)dx
.
3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction
fff
 sur l'intervalle
[32 ; 8]\left[\dfrac32~;~ 8\right][23​ ; 8]
. L'unité de longueur est le mètre.
a.Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ
D\text DD
.b. La municipalité a organisé un concours de graffitis pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ
757575
 % de la surface du mur. Sachant qu'une bombe aérosol de
150150150
mL permet de couvrir une surface de
0,80{,}80,8
m², déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

Métropole, juin 2024

Partie A-Étude de la fonction
fff
La fonction
fff
est définie sur l'intervalle 
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
par 
f(x)=x−2+12ln⁡(x)f (x) = x -2+ \dfrac12 \ln(x)f(x)=x−2+21​ln(x)
, où 
ln⁡\lnln
désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction
fff
est deux fois dérivable sur
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
, on note
f′f'f′
sa dérivée et 
f′′f''f′′
sa dérivée seconde.
1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de
fff
en
000
et en
+∞+\infty+∞
.b. Montrer que, pour tout
xxx
appartenant à
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
, on a  
f′(x)=2x+12xf'(x) = \dfrac{2x +1}{2x}f′(x)=2x2x+1​
.c. Étudier le sens de variation de
fff
 sur
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
.d. Étudier la convexité de
fff
 sur
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
.
2. a. Montrer que l'équation
f(x)=0f (x) = 0f(x)=0
admet dans
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
une solution unique qu'on notera 
α\alphaα
et justifier que 
α\alphaα
appartient à l'intervalle
[1 ; 2][1~;~2][1 ; 2]
.b. Déterminer le signe de
f(x)f (x)f(x)
pour 
x∈ ]0 ;+∞[x\in\, ]0~; +\infty[x∈]0 ;+∞[
.c. Montrer que
ln⁡(α)=2(2−α)\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)ln(α)=2(2−α)
.
Partie B - Étude de la fonction\(g\)
La fonction
ggg
est définie sur
]0 ; 1]]0~;~1]]0 ; 1]
par
g(x)=−78x2+x−14x2ln⁡(x)g(x) = -\dfrac78 x^2 + x - \dfrac14x^2 \ln(x)g(x)=−87​x2+x−41​x2ln(x)
.
On admet que la fonction
ggg
est dérivable sur
]0 ; 1]]0~;~1]]0 ; 1]
et on note
g′g'g′
sa fonction dérivée.
1. Calculer
g′(x)g'(x)g′(x)
pour
x∈ ]0 ; 1]x \in\, ]0~;~1]x∈]0 ; 1]
puis vérifier que
g′(x)=xf(1x)g'(x) = x f\left(\dfrac1x\right)g′(x)=xf(x1​)
.
2. a. Justifier que, pour 
xxx
 appartenant à l'intervalle
]0 ; 1α[\left]0~;~\dfrac1\alpha\right[]0 ; α1​[
, on a
f(1x)>0f\left(\dfrac1x\right)>0f(x1​)>0
.b. On admet le tableau de signes suivant.
x01α1Signe de f(1x)∥+0−\begin{array}{|c|lcccr|}\hline{}x & 0 & & \frac1\alpha & & 1 \\\hline\text{Signe de }f\left(\frac1x\right) & \Bigg\Vert & + & 0 & - & \\\hline\end{array}xSigne de f(x1​)​0​​+​α1​0​−​1​​
En déduire le tableau de variations de 
ggg
sur l’intervalle
]0 ; 1]]0~;~1]]0 ; 1]
. Les images et les limites ne sont pas demandées.
Partie C - Un calcul d'aire
On a représenté sur le graphique ci-dessous.
On souhaite calculer l’aire
A\mathscr AA
du domaine en bleu compris entre les courbes
Cg\mathscr C_gCg​
et
P\mathscr PP
, et les droites d'équations
x=1αx = \dfrac1\alphax=α1​
et
x=1x = 1x=1
. On rappelle que
ln⁡(α)=2(2−α)\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)ln(α)=2(2−α)
.
1. a. Justifier la position relative des courbes 
Cg\mathscr C_gCg​
et
P\mathscr PP
sur l’intervalle
]0 ; 1]]0~;~1]]0 ; 1]
.b. Démontrer l’égalité
∫1α1x2ln⁡(x)dx=−α3−6α+139α3\displaystyle \int_{\frac1\alpha}^1 x^2\ln(x) \text d x = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}∫α1​1​x2ln(x)dx=9α3−α3−6α+13​
.
2. En déduire l’expression en fonction de
α\alphaα
de l’aire
A\mathscr AA
.