Définitions
• La fonctioncosinusest la fonction, définie sur
, qui à tout réel
associe
.
• La fonctionsinusest la fonction, définie sur
, qui à tout réel
associe
.
Périodicité et parité des fonctions cosinus et sinus
Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sontpériodiquesde période
2\pi
.
Démonstration
Les fonctions cosinus et sinus dont définies sur
D=\mathbb{R}
. Si
x \in D
, alors
x+2\pi \in D
et pour tout réel
x
, on a :
\cos(x+2\pi)=cos(x)
\sin(x+2\pi)=sin(x)
.
RemarqueConséquence graphique
Le plan étant rapporté à un repère
, les courbes des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur
, où
est un entier relatif.
Propriétés
- La fonctioncosinusest une fonctionpaire.
- La fonctionsinusest une fonctionimpaire.
Démonstration
Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur \(D=\mathbb{R}\)qui est un intervalle symétrique par rapport à 0. Ainsi si
alors
et pour tout réel
x
, on a :
.
RemarqueConséquence graphique
- Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
☛ Encadrements de cosinus et sinus
Propriété
Pour tout réel
, on a
et
.Énoncé
Déterminer la limite de
.
Solution
Pour tout réel
, on a
.
On en déduit que, pour tout réel
, on a
.
donc, d'après le théorème des gendarmes, on obtient
.Remarque
Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en
et
.