Revenir
Revenir

Définition et propriétés

    • La fonctioncosinusest la fonction, définie sur

Sommaire

Fonctions cosinus et sinusPériodicité et parité des fonctions cosinus et sinus☛ Encadrements de cosinus et sinus

Fonctions cosinus et sinus

Définitions
    • La fonctioncosinusest la fonction, définie sur
R\mathbb{R}R
, qui à tout réel
xxx
 associe
cos⁡(x)\cos(x)cos(x)
.
    • La fonctionsinusest la fonction, définie sur
R\mathbb{R}R
, qui à tout réel
xxx
 associe
sin⁡(x)\sin(x)sin(x)
.

Périodicité et parité des fonctions cosinus et sinus

Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sontpériodiquesde période
2\pi
.
Démonstration
Les fonctions cosinus et sinus dont définies sur
D=\mathbb{R}
. Si
x \in D
, alors
x+2\pi \in D
 et pour tout réel
x
, on a :
\cos(x+2\pi)=cos(x)
\sin(x+2\pi)=sin(x)
.
RemarqueConséquence graphique
Le plan étant rapporté à un repère
(O,i⃗,j⃗)(\text O,\vec{i},\vec{j})(O,i,j​)
, les courbes des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur
2πki⃗2\pi k\vec{i}2πki
, où
kkk
 est un entier relatif.
Propriétés
  • La fonctioncosinusest une fonctionpaire.
  • La fonctionsinusest une fonctionimpaire.
Démonstration
Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur \(D=\mathbb{R}\)qui est un intervalle symétrique par rapport à 0. Ainsi si
x∈Dx\in Dx∈D
 alors
−x∈D-x \in D−x∈D
 et pour tout réel
x
, on a :
cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x)=\cos(x)cos(−x)=cos(x)
sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x)=-\sin(x)sin(−x)=−sin(x)
.
RemarqueConséquence graphique
  • Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.

☛ Encadrements de cosinus et sinus

Propriété
Pour tout réel
xxx
, on a
−1⩽cos⁡(x)⩽1-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1−1⩽cos(x)⩽1
 et
−1⩽sin⁡(x)⩽1-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1−1⩽sin(x)⩽1
.Énoncé
Déterminer la limite de
lim⁡x→+∞cos⁡(x)−1x\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\cos(x)-1}{x}x→+∞lim​xcos(x)−1​
.
Solution
Pour tout réel 
xxx
, on a
−1⩽cos⁡(x)⩽1-1\leqslant \cos(x) \leqslant 1−1⩽cos(x)⩽1
.
On en déduit que, pour tout réel
x>0x>0x>0
, on a
−2x⩽cos⁡(x)−1x⩽0-\dfrac{2}{x}\leqslant \dfrac{\cos(x)-1}{x} \leqslant 0−x2​⩽xcos(x)−1​⩽0
.
lim⁡x→+∞−2x=0\lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{2}{x}=0x→+∞lim​−x2​=0
 donc, d'après le théorème des gendarmes, on obtient
lim⁡x→+∞cos⁡(x)−1x=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\cos(x)-1}{x}=0x→+∞lim​xcos(x)−1​=0
.Remarque
Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en
−∞-\infty−∞
 et
+∞+\infty+∞
.