Propriétés
• La fonction cosinus est dérivable sur
et, pour tout réel
, on a
.
• La fonction sinus est dérivable sur
et, pour tout réel
, on a
.
Énoncé
Étudier les variations de la fonction
f
définie sur
\mathbb{R}
par
f(x)=x-\sin(x)
.Solution
f
est dérivable sur
\mathbb{R}
et, pour tout réel
.
Pour tout réel
donc
.
Pour tout réel
donc
est croissante sur
.
Étude des variations de la fonction cosinus sur une période
Propriété
Le tableau de variations de la fonction cosinus sur
est le suivant.
Démonstration
La fonction cosinus étant paire, on peut réduire l'intervalle d'étude à
.
La fonction cosinus est dérivable sur
et, pour tout réel
x
de
, on a
.
À l'aide de l'animation ci-dessus, on constate que : pour tout réel
x
de
,
donc
.
La fonction cosinus est donc décroissante sur
.
On complète le tableau de variations sur
par symétrie.
Étude des variations de la fonction sinus sur une période
Propriété
Le tableau de variations de la fonction sinus sur
[-\pi\ ;\ \pi]
est le suivant.
Démonstration
La fonction sinus étant impaire, on peut réduire l'intervalle d'étude à
.
La fonction sinus est dérivable sur
et, pour tout réel
x
de
, on a
.
À l'aide de l'animation ci-dessus, on constate que :
• pour tout réel
x
de
,
donc
la fonction sinus est croissante sur cet intervalle ;
• pour tout réel
x
de
,
donc
la fonction sinus est décroissante sur cet intervalle.
On complète le tableau de variations sur
par symétrie.
Courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus
Enfaisant varier le curseur, on peut voir apparaîtrel'allure des courbes représentatives des fonctions cosinus (en bleu) et sinus (en rouge) sur
.
Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions cosinus (en bleu) et sinus (en rouge).
☛ Dérivée d'une fonction composée avec cosinus et sinus
Propriété
Soit
une fonction définie et dérivable sur un intervalle
, alors les fonctions
et
sont dérivables sur
et on a :
.
Démonstration
Il s'agit d'un cas particulier de la propriété sur la dérivée d'une composée.
Par exemple,
où \(v\)est la fonction définie sur\(\mathbb{R}\) par \(v(x)=\cos(x)\).
Pour tout réel
, on a
.
Enfin
d'où le résultat.
Énoncé
On considère la fonction
f
définie sur
par
. Calculer
.
Solution
est dérivable sur
.On pose \(u\)tel que
alors
.
.