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Dérivées et variations

    • La fonction cosinus est dérivable sur

Sommaire

☛ Dérivées des fonctions cosinus et sinusÉtude des variations de la fonction cosinus sur une périodeÉtude des variations de la fonction sinus sur une périodeCourbes représentatives des fonctions cosinus et sinus☛ Dérivée d'une fonction composée avec cosinus et sinus

☛ Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Propriétés
    • La fonction cosinus est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et, pour tout réel
xxx
, on a
cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x)=-\sin(x)cos′(x)=−sin(x)
.
    • La fonction sinus est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et, pour tout réel
xxx
, on a
sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x)=\cos(x)sin′(x)=cos(x)
.
Énoncé
Étudier les variations de la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=x-\sin(x)
.Solution
f
 est dérivable sur
\mathbb{R}
 et, pour tout réel
x, f′(x)=1−cos⁡(x)x,\ f'(x)=1-\cos(x)x, f′(x)=1−cos(x)
.
Pour tout réel
x,cos⁡(x)⩽1x,\cos(x) \leqslant 1x,cos(x)⩽1
 donc
1−cos⁡(x)⩾01-\cos(x) \geqslant 01−cos(x)⩾0
.
Pour tout réel
x,f′(x)⩾0x, f'(x)\geqslant 0x,f′(x)⩾0
 donc
fff
 est croissante sur
R\mathbb{R}R
.

Étude des variations de la fonction cosinus sur une période

Propriété
Le tableau de variations de la fonction cosinus sur
[−π ; π][-\pi~;~\pi][−π ; π]
 est le suivant.
Démonstration
La fonction cosinus étant paire, on peut réduire l'intervalle d'étude à
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
.
La fonction cosinus est dérivable sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
 et, pour tout réel
x
 de
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
, on a 
cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x)=-\sin(x)cos′(x)=−sin(x)
.
À l'aide de l'animation ci-dessus, on constate que : pour tout réel
x
 de
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
,
sin⁡(x)⩾0\sin(x)\geqslant 0sin(x)⩾0
 donc
−sin⁡(x)⩽0-\sin(x)\leqslant 0−sin(x)⩽0
.
La fonction cosinus est donc décroissante sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
.
On complète le tableau de variations sur
[−π ; 0][-\pi~;~0][−π ; 0]
 par symétrie.

Étude des variations de la fonction sinus sur une période

Propriété
Le tableau de variations de la fonction sinus sur
[-\pi\ ;\ \pi]
 est le suivant.
Démonstration
La fonction sinus étant impaire, on peut réduire l'intervalle d'étude à
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
.
La fonction sinus est dérivable sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
 et, pour tout réel
x
 de
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
, on a 
sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x)=\cos(x)sin′(x)=cos(x)
.
À l'aide de l'animation ci-dessus, on constate que :
    • pour tout réel
x
 de
[0 ; π2]\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right][0 ; 2π​]
,
cos⁡(x)⩾0\cos(x)\geqslant 0cos(x)⩾0
 donc
la fonction sinus est croissante sur cet intervalle ;
    • pour tout réel
x
 de
[π2 ; π]\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi \right][2π​ ; π]
,
cos⁡(x)⩽0\cos(x)\leqslant 0cos(x)⩽0
 donc
la fonction sinus est décroissante sur cet intervalle.
On complète le tableau de variations sur
[−π ; 0][-\pi~;~0][−π ; 0]
 par symétrie.

Courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus

Enfaisant varier le curseur, on peut voir apparaîtrel'allure des courbes représentatives des fonctions cosinus (en bleu) et sinus (en rouge) sur
[−π ; π][-\pi~;~\pi][−π ; π]
.
Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions cosinus (en bleu) et sinus (en rouge).

☛ Dérivée d'une fonction composée avec cosinus et sinus

Propriété
Soit
uuu
 une fonction définie et dérivable sur un intervalle
III
, alors les fonctions
cos⁡(u)\cos(u)cos(u)
 et
sin⁡(u)\sin(u)sin(u)
 sont dérivables sur
III
 et on a :
(cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)(\cos(u))^{\prime}=-u^{\prime}\sin(u)(cos(u))′=−u′sin(u)
(sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)(\sin(u))^{\prime}=u^{\prime}\cos(u)(sin(u))′=u′cos(u)
.
Démonstration
Il s'agit d'un cas particulier de la propriété sur la dérivée d'une composée.
Par exemple, 
cos⁡(u)=v∘u\cos(u)=v \circ ucos(u)=v∘u
 où \(v\)est la fonction définie sur\(\mathbb{R}\) par \(v(x)=\cos(x)\).
Pour tout réel
xxx
, on a
v′(x)=−sin⁡(x)v'(x)=-\sin(x)v′(x)=−sin(x)
.
Enfin 
(v∘u)′=u′×(v′∘u)(v \circ u)^{\prime}=u' \times (v' \circ u)(v∘u)′=u′×(v′∘u)
d'où le résultat.
 Énoncé
On considère la fonction
f
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=cos⁡(x2+1)f(x)=\cos(x^2+1)f(x)=cos(x2+1)
. Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
.
Solution
fff
 est dérivable sur
R\mathbb{R}R
.On pose \(u\)tel que
u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1
alors
u′(x)=2xu'(x)=2xu′(x)=2x
.
f′(x)=−2xsin⁡(x2+1)f'(x)=-2x\sin(x^2+1)f′(x)=−2xsin(x2+1)
.