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Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions

f

et

g

définies sur

\mathbb{R}

par :

f (x) = \text{e}^{-x} (- \cos (x) + \sin (x) + 1)

et

g (x) = -\text{e}^{-x} \cos( x)

.
On admet que les fonctions

f

et

g

sont dérivables sur

\mathbb{R}

.

Partie A - Étude de la fonction\(\boldsymbol{f}\)

1.Justifier que, pour tout réel 

x

, on a

-\text{e}^{-x} \leqslant f (x) \leqslant 3\text{e}^{-x}

.
2.En déduire la limite de

Démontrer que l'équation

\cos(x)=x

 admet une unique solution sur l'intervalle

\left[0~;~\dfrac{\pi}{2} \right]

.
On donnera une valeur approchée de cette solution à

10^{-2}

 près.

Déterminer les limites suivantes.

1.

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}

2.

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}

Résoudre sur

]-\pi~;~\pi]

, puis sur

[0~;~2\pi[

, l'équation suivante.

\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0

.

Soit la fonction 

f

définie, pour tout nombre réel 

x

, par

f (x) = \text{e}^{-x} \sin(x)

.
Déterminer l'affirmation exacte parmi celles proposées, enjustifiant la réponse.

1.La fonction

f

 est décroissante sur l’intervalle

\left] \dfrac{\pi}{4}~; +\infty \right[.

2.La courbe représentative de la fonction

f

 admet une tangente horizontale au point d'abscisse

\dfrac{\pi}{4}

.
3.La fonction

f

est positive sur l’intervalle

]0~; +\infty[

.
4.Soit

F

la fonction définie, pour tout réel

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