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 admet une unique solution sur l'intervalle

Sommaire

* Où l'on retrouve le TVI* Quelques calculs de limites* Résolution d'équation
** QCM** Étude d'une fonction (1)** Étude d'une fonction (2)** Étude de la fonction tangente** Fonction tangente et intégrale
*** Logo publicitaire*** Mouvement d'un ressort*** Comparaison d'aires*** Double IPP

* Où l'on retrouve le TVI

Démontrer que l'équation
\cos(x)=x
 admet une unique solution sur l'intervalle
[0 ; π2]\left[0~;~\dfrac{\pi}{2} \right][0 ; 2π​]
.
On donnera une valeur approchée de cette solution à
10−210^{-2}10−2
 près.

* Quelques calculs de limites

Déterminer les limites suivantes.
1.
lim⁡x→0sin⁡(x)x\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}x→0lim​xsin(x)​
2.
lim⁡x→0cos⁡(x)−1x\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}x→0lim​xcos(x)−1​

* Résolution d'équation

Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
, puis sur
[0 ; 2π[[0~;~2\pi[[0 ; 2π[
, l'équation suivante.
\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0
.

** QCM

Soit la fonction 
fff
définie, pour tout nombre réel 
xxx
, par
f(x)=e−xsin⁡(x)f (x) = \text{e}^{-x} \sin(x)f(x)=e−xsin(x)
.
Déterminer l'affirmation exacte parmi celles proposées, enjustifiant la réponse.
1.La fonction
fff
 est décroissante sur l’intervalle
]π4 ;+∞[.\left] \dfrac{\pi}{4}~; +\infty \right[.]4π​ ;+∞[.
2.La courbe représentative de la fonction
f
 admet une tangente horizontale au point d'abscisse
π4\dfrac{\pi}{4}4π​
.
3.La fonction
fff
est positive sur l’intervalle
]0 ;+∞[]0~; +\infty[]0 ;+∞[
.
4.Soit
FFF
la fonction définie, pour tout réel
xxx
, par
F(x)=e−x(cos⁡(x)−sin⁡(x)).F (x) = \text{e}^{-x} (\cos (x) - \sin (x)).F(x)=e−x(cos(x)−sin(x)).
 La fonction
FFF
est une primitive de la fonction
fff
.

** Étude d'une fonction (1)

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=sin⁡(x)(1+cos⁡(x))f(x)=\sin(x)\left(1+\cos(x)\right)f(x)=sin(x)(1+cos(x))
.
1.Étudier la parité de la fonction
fff
.
2.Montrer que la fonction
fff
 est
2π2\pi2π
-périodique.
On étudie désormais la fonction \(f\) sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
.
3. a.Montrer que, pour tout réel
xxx
 de l'intervalle
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
,
f′(x)=(cos⁡(x)+1)(2cos⁡(x)−1)f'(x)=\left(\cos(x)+1\right)\left(2\cos(x)-1\right)f′(x)=(cos(x)+1)(2cos(x)−1)
.
     b.Étudier le signe de
f′(x)f'(x)f′(x)
 sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
.
     c.Dresser le tableau complet des variations de
fff
 sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
.
4.a.Préciser
f′(π)f'(\pi)f′(π)
. Que peut-on en déduire graphiquement ?b.Représenter graphiquement la fonction
fff
 sur
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
 puis sur
[−π ; 0][-\pi~;~0][−π ; 0]
.

** Étude d'une fonction (2)

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=2sin⁡(3x)f(x)=2\sin(3x)f(x)=2sin(3x)
.
1.Montrer que la fonction
fff
 est
2π3\dfrac{2\pi}{3}32π​
 périodique.
2.Étudier la parité de la fonction
fff
.
On décide de restreindre l'intervalle d'étude de la fonction à
[0 ; π3]\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{3} \right][0 ; 3π​]
.
3. a.On admet que
fff
 est dérivable sur
[0 ; π3]\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{3} \right][0 ; 3π​]
. Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
.
    b.Étudier le signe de
f′(x)f'(x)f′(x)
 sur l'intervalle
[0 ; π6]\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{6} \right][0 ; 6π​]
 puis sur
[π6 ; π3]\left[\dfrac{\pi}{6}\ ;\ \dfrac{\pi}{3} \right][6π​ ; 3π​]
.
    c.Dresser le tableau complet des variations de la fonction
fff
 sur
[0 ; π3]\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{3} \right][0 ; 3π​]
.
4.Représenter graphiquement la fonction
fff
 sur l'intervalle
[0 ; π3]\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{3} \right][0 ; 3π​]
 puis sur
[−π3 ; 0]\left[-\dfrac{\pi}{3}\ ;\ 0 \right][−3π​ ; 0]
 et enfin sur
[−π ; π][-\pi \ ;\ \pi][−π ; π]
.

** Étude de la fonction tangente

Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
On définit la fonctiontangente pour tout réel 
x
 différent de
π2+kπ\dfrac{\pi}{2}+k\pi2π​+kπ
, où 
kkk
 est un entier relatif, par
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}tan(x)=cos(x)sin(x)​
.
1.Montrer que la fonction tangente est
π\piπ
-périodique.
On se place désormais sur 
]−π2 ; π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[]−2π​ ; 2π​[
.
2. a.Déterminer les limites de la fonction tangente aux bornes deson ensemble de définition.
    b.Que peut-on en déduire graphiquement ?
3.Étudier la parité de la fonction tangente sur
]−π2 ; π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[]−2π​ ; 2π​[
.
4. a.On admet que la fonction tangente est dérivable sur
]−π2 ; π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[]−2π​ ; 2π​[
. Calculer
tan⁡′(x)\tan'(x)tan′(x)
.
    b.En déduire les variations de la fonction tangente sur l'intervalle
]−π2 ; π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[]−2π​ ; 2π​[
.
    c.Dresser le tableau complet des variations de la fonction tangente sur l'intervalle
]−π2 ; π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[]−2π​ ; 2π​[
.

** Fonction tangente et intégrale

Déterminer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant.
∫0π4tan⁡(x)  dx=ln⁡(2)2\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x)\;\text d x=\dfrac{\ln(2)}{2}∫04π​​tan(x)dx=2ln(2)​

*** Logo publicitaire

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt.
Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions
fff
 et
ggg
définies sur
R\mathbb{R}R
par :
f(x)=e−x(−cos⁡(x)+sin⁡(x)+1)f (x) = \text{e}^{-x} (- \cos (x) + \sin (x) + 1)f(x)=e−x(−cos(x)+sin(x)+1)
et
g(x)=−e−xcos⁡(x)g (x) = -\text{e}^{-x} \cos( x)g(x)=−e−xcos(x)
.
On admet que les fonctions
fff
 et
ggg
sont dérivables sur
R\mathbb{R}R
.
Partie A - Étude de la fonction\(\boldsymbol{f}\)
1.Justifier que, pour tout réel 
xxx
, on a
−e−x⩽f(x)⩽3e−x-\text{e}^{-x} \leqslant f (x) \leqslant 3\text{e}^{-x}−e−x⩽f(x)⩽3e−x
.
2.En déduire la limite de
fff
 en
+∞+\infty+∞
.
3.Démontrer que, pour tout réel
xxx
,
f′(x)=e−x(2cos⁡(x)−1)f'(x) = \text{e}^{-x} (2\cos (x) - 1)f′(x)=e−x(2cos(x)−1)
.
4.Dans cette question, on étudie la fonction
fff
 sur
[−π ; π][-π \ ; \ π][−π ; π]
.
    a.Déterminer le signe de
f′(x)f'(x)f′(x)
sur
[−π ; π][-π \ ; \ π][−π ; π]
.
    b.En déduire les variations de
fff
 sur
[−π ; π][-π \ ; \ π][−π ; π]
.
Partie B - Aire du logo
On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
et 
Cg\mathscr{C}_gCg​
les représentations graphiques des fonctions
fff
 et
ggg
dans un repère orthonormé
(O, i⃗, j⃗)(\text{O},\ \vec{i},\ \vec{j})(O, i, j​)
. L’unité graphique est de 2 centimètres.
Ces deux courbes sont tracées ci-dessous.1.Étudier la position relative de la courbe 
Cf\mathscr{C}_fCf​
par rapport à la courbe
Cg\mathscr{C}_gCg​
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.Soit 
HHH
la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
par 
H(x)=(−cos⁡(x)2−sin⁡(x)2−1)e−xH (x) =\left(- \dfrac{\cos( x)}{2} - \dfrac{\sin( x)}{2} - 1\right)\text{e}^{-x}H(x)=(−2cos(x)​−2sin(x)​−1)e−x
.
On admet que
HHH
est une primitivesur \(\mathbb{R}\)de la fonction
x↦(sin⁡(x)+1)e−xx \mapsto (\sin (x) + 1)\text{e}^{-x}x↦(sin(x)+1)e−x
.
On note 
D\mathscr{D}D
le domaine délimité par la courbe 
Cf\mathscr{C}_fCf​
, la courbe 
Cg\mathscr{C}_gCg​
et les droitesd’équations
x=−π2x=-\dfrac{\pi}{2}x=−2π​
et
x=3π2x=\dfrac{3\pi}{2}x=23π​
.
    a.Hachurer le domaine
D\mathscr{D}D
 sur le graphique.
    b.Calculer, en unité d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine
D\mathscr{D}D
, puis en donnerune valeur approchée à
10−210^{-2}10−2
près en
cm2\text{cm}^2cm2
.

*** Mouvement d'un ressort

Un ressort à spires est attaché à son extrémité fixe
A\text AA
.
On attache un mobile à son autre extrémité
M\text MM
.
On admet que l’abscisse du point
M\text MM
sur la droite 
(O,i⃗)(\text{O},\vec{i})(O,i)
vérifie l’équation différentielle du second ordre
(E):y′′+9y=8sin⁡(t)(E) : y'' + 9y = 8\sin(t)(E):y′′+9y=8sin(t)
, où
yyy
est une fonction du temps
ttt
(variable réelle positive).
1.Montrer que, pour tous réels
AAA
 et
BBB
, la fonction
hhh
 définie sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
 par  
h(t)=Acos⁡(3t)+Bsin⁡(3t)+sin⁡(t)h(t)=A\cos(3t)+B\sin(3t)+\sin(t)h(t)=Acos(3t)+Bsin(3t)+sin(t)
 est solutionsur \([0~;+\infty[\)de
(E)(E)(E)
.
2.On compresse le ressort, puis on le relâche. 
On suppose qu’à l’instant
t=0t = 0t=0
, le mobile passe en \(\text O\)avec une vitesse de 
444
mètres par seconde.
Déterminer
AAA
et
BBB
pour que la fonction 
hhh
 définie ci-dessus soit la solutionsur \([0~;+\infty[\) de l’équation
(E)(E)(E)
et qu'ellevérifie les conditions initiales :
h(0)=0h(0) = 0h(0)=0
et
h′(0)=4h'(0) = 4h′(0)=4
.
3.On admet dans cette question que
sin⁡(3t)=−4sin⁡3(t)+3sin⁡(t)\sin(3t) = -4\sin^3(t) + 3\sin(t)sin(3t)=−4sin3(t)+3sin(t)
.a.Résoudre sur
[0 ; 2π][0~;~2\pi][0 ; 2π]
 l'équation
h(t)=0h(t)=0h(t)=0
.b.En déduire les 4premières valeurs de \(t\) pour lesquelles le mobile repasse par le point de départ
O\text{O}O
.

*** Comparaison d'aires

On considère les fonctions 
fff
et 
ggg
définies sur
[0 ;+∞[[0 \ ; +\infty[[0 ;+∞[
par
f(x)=ln⁡(x+1)f (x) = \ln(x + 1)f(x)=ln(x+1)
et
g(x)=ln⁡(x+1)+1−cos⁡(x)g (x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x)g(x)=ln(x+1)+1−cos(x)
.
Dans un repère orthonormal du plan
(O,i⃗,j⃗)(\text{O},\vec{i},\vec{j})(O,i,j​)
, on note 
Cf\mathscr{C}_fCf​
et 
Cg\mathscr{C}_gCg​
les courbes représentatives des fonctions
fff
et 
ggg
. Ces courbes sont données ci-dessous.
Comparer les aires des deux surfaces colorées sur ce graphique.

*** Double IPP

À l'aide de deux intégrations par parties successives, calculer
∫1eπcos⁡(ln⁡x)\mboxdx{\displaystyle \int_{1}^{\text{e}^{\pi}}\cos\left(\ln x\right)\mbox{d}x}∫1eπ​cos(lnx)\mboxdx
.