Pour chaque question, indiquer la proposition exacte parmi les quatre proposées.
1.Sur l’intervalle
, l’équation
admet :
a.zéro solution
b.une solution
c.deux solutions
d.quatre solutions
2.On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par
.
On admet que
est deux fois dérivable.a.La fonction
est convexe sur l’intervalle
.b.La fonction
est concave sur l’intervalle
.c.La fonction
admet sur l'intervalle
un unique point d’inflexion.d.La fonction
admet sur l'intervalle
exactement deux points d'inflexion.
Centres étrangers, juin 2024
On considère l’équation différentielle
où
y
est une fonction dérivable de la variable réelle
x
.
1.Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle
(E_0)
est la fonction nulle.
2.Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle
(E_0)
.
On considère l’équation différentielle
où
y
est une fonction dérivable de la variable réelle
x
.
3.La fonction
h
est définie sur
\mathbb{R}
par
. On admet qu’elle est dérivable sur
\mathbb{R}
.
Démontrer que la fonction
h
est solution de l’équation différentielle
(E )
.
4.On considère une fonction
f
définie et dérivable sur
\mathbb{R}
.
Démontrer que : «
f
est solution de
(E )
» est équivalent à «
f - h
est solution de
(E_0)
».
5.En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle
(E )
.
6.Déterminer l’unique solution
g
de l’équation différentielle
(E )
telle que
g (0) = 0
.
7.Calculer :
.
Amérique du Nord, mai 2024
Pour tout entier naturel
, on considère les intégrales suivantes :
et
.
1.Calculer
.
2. a.Justifier que, pour tout entier naturel
, on a
.b.Montrer que, pour tout entier naturel
, on a
.c.Déduire des deux questions précédentes que la suite
converge.
3. a.Montrer que, pour tout entier naturel
, on a :
.b.Montrer que, pour tout entier naturel
, on a :
.c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite
.
4. a. En intégrant par parties l'intégrale
de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel
:
et
.b. En déduire que, pour tout entier naturel
, on a
.
5.On souhaite obtenir le rang
à partir duquel la suite
devient inférieure à
.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.