Quizéo

Pour chaque question, indiquer la proposition exacte parmi les quatre proposées.

1.Sur l’intervalle

[0~;~2π]

, l’équation

\sin(x) = 0{,}1

admet :
    a.zéro solution
    b.une solution
    c.deux solutions
    d.quatre solutions

2.On considère la fonction 

f

définie sur l'intervalle

[0~;~\pi]

par

f (x) = x + \sin(x)

.
On admet que 

f

est deux fois dérivable.a.La fonction 

f

est convexe sur l’intervalle 

[0~;~\pi]

.b.La fonction 

f

est concave sur l’intervalle 

[0~;~\pi]

.c.La fonction 

f

admet sur l'intervalle 

[0~;~\pi]

un unique point d’inflexion.d.La fonction 

f

admet sur l'intervalle 

[0~;~\pi]

exactement deux points d'inflexion.

On considère l’équation différentielle

(E_0) : y' = y

où

y

est une fonction dérivable de la variable réelle

x

.

1.Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle 

(E_0)

 est la fonction nulle.

2.Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle

(E_0)

.

On considère l’équation différentielle

(E ) : y' = y - \cos(x) - 3 \sin(x)

où

y

est une fonction dérivable de la variable réelle

x

.

3.La fonction

h

est définie sur 

\mathbb{R}

par

h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x)

. On admet qu’elle est dérivable sur

\mathbb{R}

.
Démontrer que la fonction 

h

est solution de l’équation différentielle

(E )

.

4.On considère une fonction 

f

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.
Démontrer que : « 

f

est solution de

(E )

» est équivalent à «

f - h

est solution de

(E_0)

».

5.En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle

(E )

.

6.Déterminer l’unique solution

g

de l’équation différentielle

(E )

telle que

g (0) = 0

.

7.Calculer : 

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2\text{e}^x+\sin(x)+2\cos(x)\right] \;\text d x

.

Pour tout entier naturel

n

, on considère les intégrales suivantes : 

\displaystyle I_n=\int_{0}^{\pi} \text e^{-nx}\sin(x) \text d x

et

\displaystyle J_n=\int_{0}^{\pi} \text e^{-nx}\cos(x) \text d x

.

1.Calculer

I_0

.

2. a.Justifier que, pour tout entier naturel

n

, on a

I_n \geqslant 0

.b.Montrer que, pour tout entier naturel

n

, on a

I_{n+1} - I_n \leqslant 0

.c.Déduire des deux questions précédentes que la suite

(I_n)

converge.

3. a.Montrer que, pour tout entier naturel

n

, on a :

\displaystyle I_n\leqslant \int_{0}^{\pi} \text e^{-nx} \text d x

.b.Montrer que, pour tout entier naturel

n \geqslant 1

, on a :

\displaystyle \int_{0}^{\pi} \text e^{-nx}\text d x = \dfrac{1-\text e^{-n\pi}}{n}

.c.  Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite

(I_n)

.

4. a. En intégrant par parties l'intégrale

I_n

de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel

n \geqslant 1

:

I_n = 1+\text e^{-n\pi} -nJ_n

et

I_n=\dfrac{1}{n}J_n

.b. En déduire que, pour tout entier naturel

n \geqslant 1

, on a

I_n=\dfrac{1+\text e^{-n\pi}}{n^2+1}

.

5.On souhaite obtenir le rang 

n

à partir duquel la suite

(I_n)

devient inférieure à

0{,}1

.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

\begin{array}{|l|l|}\hline1 & \textbf{from} \text{ math }\textbf{import}*\\2 & \textbf{def}\text{ seuil():}\\3 & \quad \text{ n=0}\\4 & \quad \text{ I=2}\\5 & \quad \text{ . . .} \\6 & \qquad \text{ n=n+1}\\7 & \qquad \text{ I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)}\\8 & \quad \textbf{return} \text{ n}\\\hline\end{array}

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