Définition
Soit
p
un réel de l'intervalle
[0 ; 1]
.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre
p
est une expérience aléatoire comportant deux issues, que l'on appelle en général succès (
) et échec (
), de probabilités respectives
p
et
1-p
.
Exemples
1.On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6.On appelle succès l'issue: « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5. » Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre
\frac{1}{3}
.
2.On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes et on appelle succès l'issue :«Obtenir une dame. » Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre
4/52
soit
1/13
.
Définition
Soit
X
une variable aléatoire définie sur un univers
\Omega
.
On dit que
X
suit une loi de Bernoulli de paramètre
p\in[0;1]
si
X
est à valeurs dans
\{0;1\}
avec
P(X=1)=p
et
P(X=0)=1-p
.On note :
.
Remarque
Une loi de Bernoulli correspond donc à une épreuve de Bernoulli pour laquelle on a associé ausuccèsla valeur 1 et à l'échecla valeur 0.
Espérance et variance d'une loi de Bernoulli
Propriété
Soit
p\in[0;1]
et
X
une variable aléatoire réelle suivante une loi de Bernoulli de paramètre
p
. L'espérance, lavarianceet l'écart-typede la variablealéatoire
X
sont respectivement :
E[X] = p
V(X) = p(1-p)
\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}
Démonstration
L'espérance de la variable aléatoire
X
vaut:
La variance de cettevariable aléatoire est :
.
Ainsi,
V(X)=(0-p) ^2\times (1-p)+(1-p)^2 \times p = (1-p)(p^2+p(1-p))=(1-p) \times p.
Enfin,
.
Remarque
Pour démontrer que
, il est aussi possible d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, à savoirque \(V(X)=E[X^2]-E[X]^2.\)
En effet, la variable aléatoire
X
peut uniquement prendre les valeurs 0 et 1.
Or,
0^2=0
et
1^2=1
. On a donc `X^2=X`.Ainsi, \(V(X)=E[X]-E[X]^2=p-p^2=p(1-p).\)
Exemple
Soit
X
une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 0,2.
On a alors :
E[X]=0,2
V(X)=0,2 \times(1-0,2)=0,8
\sigma (X)=\sqrt{0,16}=0,4
.
Schéma de Bernoulli
Définition
Soit
n
un entier naturel et
p\in[0;1]
.
Un schéma de Bernoulli de paramètres
n
et
p
est une succession de
n
épreuves de Bernoulliidentiques etindépendantes de paramètre
p
.
Exemples