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Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

 est une expérience aléatoire comportant deux issues, que l'on appelle en général succès (

Sommaire

Épreuve de BernoulliEspérance et variance d'une loi de BernoulliSchéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Définition
Soit
p
 un réel de l'intervalle
[0 ; 1]
.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre
p
 est une expérience aléatoire comportant deux issues, que l'on appelle en général succès (
S\text SS
) et échec (
S‾\overline{\text S}S
), de probabilités respectives
p
 et
1-p
.
IssueSS‾Probabiliteˊp1−p\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Issue} & \text S & \overline{\text S} \\ \hline \text{Probabilité} & p & 1-p \\ \hline \end{array}IssueProbabiliteˊ​Sp​S1−p​​
Exemples
1.On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6.On appelle succès l'issue: « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5. » Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre
\frac{1}{3}
.
2.On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes et on appelle succès l'issue :«Obtenir une dame. » Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre
4/52
 soit
1/13
.
Définition
Soit 
X
une variable aléatoire définie sur un univers
\Omega
.
On dit que
X
suit une loi de Bernoulli de paramètre
p\in[0;1]
 si 
X
 est à valeurs dans
\{0;1\}
 avec
P(X=1)=p
 et
P(X=0)=1-p
.On note : 
X∼B(p)X \sim \mathcal{B}(p)X∼B(p)
.
k10P(X=k)p1−p\begin{array}{|c|c|c|}\hline k & 1 & 0 \\ \hline P(X=k) & p & 1-p \\ \hline \end{array}kP(X=k)​1p​01−p​​
Remarque
Une loi de Bernoulli correspond donc à une épreuve de Bernoulli pour laquelle on a associé ausuccèsla valeur 1 et à l'échecla valeur 0.

Espérance et variance d'une loi de Bernoulli

Propriété
Soit 
p\in[0;1]
 et 
X
une variable aléatoire réelle suivante une loi de Bernoulli de paramètre
p
. L'espérance, lavarianceet l'écart-typede la variablealéatoire
X
 sont respectivement :
E[X] = p
V(X) = p(1-p)
\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}
Démonstration
L'espérance de la variable aléatoire
X
vaut:
E[X]=0×P(X=0)+1×P(X=1)=0×(1−p)+1×p=p.E[X] = 0 \times \mathbb{P}(X=0) + 1 \times \mathbb{P}(X=1)=0\times(1-p)+1\times p = p.E[X]=0×P(X=0)+1×P(X=1)=0×(1−p)+1×p=p.
La variance de cettevariable aléatoire est :
V(X)=(0−E[X])2×P(X=0)+(1−E[X])2×P(X=1)V(X)= (0-E[X])^2 \times \mathbb{P}(X=0) + (1-E[X])^2 \times \mathbb{P}(X=1)V(X)=(0−E[X])2×P(X=0)+(1−E[X])2×P(X=1)
.
Ainsi, 
V(X)=(0-p) ^2\times (1-p)+(1-p)^2 \times p = (1-p)(p^2+p(1-p))=(1-p) \times p.
Enfin, 
σ(X)=Var(X)=p(1−p)\sigma(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{p(1-p)}σ(X)=Var(X)​=p(1−p)​
.
Remarque
Pour démontrer que 
V(X)=p(1−p)V(X)=p(1-p)V(X)=p(1−p)
, il est aussi possible d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, à savoirque \(V(X)=E[X^2]-E[X]^2.\)
En effet, la variable aléatoire 
X
 peut uniquement prendre les valeurs 0 et 1.
Or, 
0^2=0
 et 
1^2=1
. On a donc `X^2=X`.Ainsi, \(V(X)=E[X]-E[X]^2=p-p^2=p(1-p).\)
Exemple
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 0,2.
On a alors :
E[X]=0,2
V(X)=0,2 \times(1-0,2)=0,8
\sigma (X)=\sqrt{0,16}=0,4
.

Schéma de Bernoulli

Définition
Soit 
n
 un entier naturel et 
p\in[0;1]
.
Un schéma de Bernoulli de paramètres 
n
 et 
p
 est une succession de 
n
 épreuves de Bernoulliidentiques etindépendantes de paramètre 
p
.
Exemples