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S'entraîner

Alice joue à un jeu de rôles et se trouve face à un terrible ennemi auquel il ne reste plus que 4 points...

Sommaire

Succession d'épreuves indépendantes* Dans un jeu de rôles...* Menu d'un restaurant** Succession de n expériences** Somme de trois lancers de dés
Loi binomiale* OEF Loi binomiale* Modéliser à l'aide d'une loi binomiale* Interprétation de l'espérance** Espérance et seuil** Loi binomiale et probabilités conditionnelles** Paramètres inconnus*** Avec ou sans remise
** Paramètre n inconnu
*** Maximum d'une loi binomiale
*** Maximum de vraisemblance
*** Égalité entre deux lois binomiales

Succession d'épreuves indépendantes

* Dans un jeu de rôles...

Alice joue à un jeu de rôles et se trouve face à un terrible ennemi auquel il ne reste plus que 4 points de vie. Alice, quant à elle, n'a plus que 2 points de vie en réserve.
Pour effectuer son attaque, Alice doitlancerun dé équilibré à 20 faces, numérotées de 1 à 20. Si le résultat de ce lancer est de 18 ou moins, l'attaque touchera l'ennemi et Alice lancera alors un autre dé équilibré à 6 faces qui déterminera le nombre de points de vie perdus par l'ennemi.
Cependant, si l'attaque d'Alice échoue, c'est-à-dire si le résultat de son lancer est 19 ou 20, l'ennemi contre-attaquera et lancera à son tour le dé à 20 faces. L'attaque touchera Alice si le résultat obtenu est de 16 ou moins. Un dé à 6 faces sera alors lancé pour déterminer le nombre de points de vie perdus par Alice.
C'est au tour d'Alice de jouer.
1.Quelle est la probabilité qu'Alice touche et élimine son ennemi ?
2.Quelle est la probabilité qu'Alice touche son ennemi mais ne parvienne pas à l'éliminer ?
3.Quelle est la probabilité que l'ennemi survive au tour d'Alice ?
4.Quelle est la probabilité qu'Alice ne parvienne pas à éliminer son ennemi et que celui-ci l'élimine à son tour de jeu ?

* Menu d'un restaurant

Dans un restaurantfigurent au menu :
  • 12 entrées : 3 avec viande, 3 avec poisson et 6 végétariennes ;
  • 20 plats : 10 avec viande, 6 avec poisson et 4 végétariens.
Un client commande au hasard de manière indépendante une entrée et un plat.
1.Quelle est la probabilité que le menu de ce client soit végétarien ?
2.Quelle est la probabilité que son menu soit composé d'une entrée et d'un plat tous deux sans poisson ?
3.Quelle est la probabilité que l'entrée et le plat soient de nature différente (par exemple, une entrée avec viande et un plat végétarien) ?

** Succession de n expériences

Exercice 1
On considèreun groupe de
n
lycéens qui se présentent à un concours d'admission très sélectif dont le taux de réussite est de 12 %.
On suppose que les réussites des lycéens à ce concours sont indépendantes.
On note 
A_n
 l'événement : « Au moins un lycéende ce grouperéussit le concours. » 
1.Justifier que 
P(A_n)=1-0,88^n
.
2.Que vaut 
\lim_{n \to + \infty}P(A_n) ?
3.Combiende lycéens de ce groupe doivent se présenter au concours pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux soit admis soit supérieure à 95 % ?
Exercice 2
Un groupe de
NNN
personnes se présente à un stand de jeu. On admet que la probabilité qu'une personne donnée gagne lors de ce jeu est de 0,07.
Par la méthode de son choix, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à 0,98.

** Somme de trois lancers de dés

On lancesimultanément 3 dés équilibrés à 6 faces, numérotées de 1 à 6, puis on fait la somme des 3 résultats obtenus. Quelle est la probabilité que la somme des résultats soit paire ?

Loi binomiale

* OEF Loi binomiale

* Modéliser à l'aide d'une loi binomiale

Exercice 1
Cinq amis postulent un emploi de cadre dans une entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité qu'ils soient tous recrutés est égale à 0,07.
On désigne par 
X
la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq amis.
1.Justifier que 
X
suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2.Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 
10^(-3)
près.
Exercice 2
Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12.
Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.
Les résultats seront arrondis à 
10^(-3)
près.
1.Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utilisation ?
2.Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?
Exercice 3
On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites, une seule d'entre elles est exacte. Un professeur demande à ses 28 élèves de répondre au hasard à chaque question de ce questionnaire. On note 
X
 le nombre d'élèves n'ayant aucune réponse exacte.
1.Justifier que 
X
 suit une loi binomiale de paramètres 
n=28
 et 
p=32/243
.
2.Calculer la probabilité, arrondie à 
10^(-2)
, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.
Exercice 4
Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur. Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote. On admet que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à 0,42. On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note
X
la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.
1.On admet que la variable aléatoire
X
suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres.
2.Calculer la probabilité, arrondie à 
10^(-3)
près, qu’au moins 15 clients prennent l’option PILOTE.

* Interprétation de l'espérance

Exercice 1
Le groupe sanguin O négatif (aussi appelé donneur universel) représente environ 6 % de la population française.
50 personnes se présentent à un don de sang.
On note 
X
 le nombre de ces personnes qui sont du groupe O négatif.
1.On admet que 
X
 suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
2.Déterminer la probabilité qu'au moins deux de ces personnes soient du groupe O négatif.
3.Calculer l'espérance de 
X
 et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Exercice 2
Dans cet exercice, les probabilités calculées seront arrondies, si nécessaire, à 
10^(-3)
près.
Une entreprise produit des stylos en grande quantité. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est de 0,1.
On prélève 10 stylos dans le stock de cette entreprise. On suppose que le nombre de stylos produits est suffisamment grand pour que cette sélection soit assimilée à des tirages indépendants et avec remise.
On note 
X
le nombre de stylos défectueux ainsi prélevés.
1.Quelle est la loi de
X
 ? On précisera ses paramètres.
2.Donner l'espérance et la variance de`X`.
3.Calculer la probabilité qu'il y ait exactement un stylo défectueux.
4.Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un stylo défectueux.
5.Calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux stylos défectueux.
Exercice 3
Au cours de la fabrication de verres de lunettes, le verre doit subir un traitement. On estime que 10 % des verres présentent alors un défaut pour ce traitement.
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note
X
 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présententun défaut.
1.Justifier que la variable aléatoire
X
 suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2.Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présententundéfaut. Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 
10^(-3)
.
3.En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?

** Espérance et seuil

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlètecontrôlé à un test anti-dopage présente un test positif est 0,103.
1. Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. On note`X`la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
    a.Donner la loi suivie par la variable aléatoire
X
. Préciser ses paramètres.
    b.Calculer l’espérance`E(X)`et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    c.Quelle est la probabilité qu’au moins 1 des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?
2.Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement« au moins un athlète contrôlé présente un test positif »soit supérieure ou égale à 0,75 ? Justifier.
Extrait d'exercice issu du sujetdu baccalauréat d'Amérique du Nord de mai 2021

** Loi binomiale et probabilités conditionnelles

Soit 
XXX
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n=10\) et 
p=0,3p=0,3p=0,3
.
Calculer la probabilité 
PX⩾5(X⩽8)P_{X\geqslant 5}(X\leqslant 8)PX⩾5​(X⩽8)
.

** Paramètres inconnus

Exercice 1
Soit
XXX
 une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres
n=99n=99n=99
 et
ppp
.
On sait que
σ(X)=4,95\sigma(X)=4,95σ(X)=4,95
.
Déterminer la ou les valeurs possibles de
ppp
.
Exercice 2
Soit
XXX
 une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres
nnn
 et
ppp
.
On sait que 
E(X)=3,36E(X)=3,36E(X)=3,36
 et 
σ(X)=1,68\sigma(X)=1,68σ(X)=1,68
.
Calculer
P(2⩽X⩽5)P\left(2\leqslant X\leqslant5\right)P(2⩽X⩽5)
.

*** Avec ou sans remise

On tire 5 cartes dans un jeu de 52.
Est-il plus probable d'obtenir exactement 3 cœurs lorsque les tirages ont lieu avec remise ou sans remise ?
Même question avec exactement 2 cœurs.

** Paramètre n inconnu

Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre 
n
 inconnu et 
p=1/3
.
On sait que \(P(X=14)=10 \times P(X=15)\).
Calculer 
P(X=14)
.

*** Maximum d'une loi binomiale

Soit 
n
 un entier naturelnon nul et 
p\in [0;1]
.
On considère une variable aléatoire 
X
 suivant une loi binomiale de paramètres 
n
 et 
p
.
Pour tout entier naturel 
k
 compris entre 
000
 et 
n
, on note :
p_k=P(X=k)
.
1.Montrer que, pour tout entier naturel compris entre
000
 et 
n-1
, on a :
p_{k+1}/p_k=p/(1-p) \times (n-k)/(k+1)
.
2.Résoudre dans 
R\mathbb{R}R
 l'inéquation 
pk+1pk⩾1\dfrac{p_{k+1}}{p_k} \geqslant 1pk​pk+1​​⩾1
 d'inconnue 
kkk
.
3.En déduire le sens de variations de la suite 
(p_k)
.
4.Pour quelle valeur de 
k
 la valeur de 
p_k
 est-elle maximale ?

*** Maximum de vraisemblance

Une urne contient un très grand nombre de boules rouges et de boules noires, indiscernables au toucher. On note 
p
 la proportion de boules rouges dans cette urne.
On tire 20 fois, et avec remise, une boule dans cette urne et on note 
X
 le nombre de boules rouges obtenues.
1.Quelle est la loi de la variable aléatoire 
X
 ?
On effectue un tel tirage et on obtient alors 5 boules rouges. À partir de cette information, on souhaite déterminer le nombre de boules rouges dans l'urne en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance: cetteméthode consiste à déterminer la valeur de la proportion 
p
 pour laquelle la probabilité 
P(X=5)
 est maximale.
2.Exprimer 
P(X=5)
 en fonction de 
p
.
3.Pour tout réel 
x\in [0;1]
, on note 
f(x)=x^5(1-x)^{15}
. On admet que la fonction 
f
 ainsi définie est dérivable sur 
[0;1]
.
     a.Montrer que, pour tout réel 
x\in[0;1]
, on a :
f'(x)=-5x^4(4x-1)(1-x)^{14}
.
     b.En déduire que 
f
 admet un maximum sur 
[0;1]
 en une valeur que l'on précisera.
4.Conclure à l'aide des résultats précédents.

*** Égalité entre deux lois binomiales

Deux personnes lancent 5 fois de suite une pièce équilibrée.
Quelle est la probabilité que les deuxpersonnes obtiennent le même nombre defoisPILE au cours de leurs dix lancers ?
On pourra utiliser la formulesuivante.Pour tout entier naturel 
n
, on a :
∑k=0n(nk)2=(2nn)\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}^2=\dbinom{2n}{n}k=0∑n​(kn​)2=(n2n​)
.