Somme de variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

Définition

Soit 

n

 un entier naturel et

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

des variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini 

\Omega

.
On dit que les variables aléatoires 

X_1

,

X_2

, ..., 

X_n

 sont(mutuellement) indépendantes si, pour tous réels 

x_1

,

x_2

, ...,

x_n

, on a 

P(X_1=x_1\cap X_2=x_2 \cap \dots \cap X_n=x_n)=P(X_1=x_1) \times P(X_2=x_2) \times \dots \times P(X_n=x_n)

Exemple

On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6.
On appelle 

X

 le numéro obtenu au premier lancer, 

Y

 le numéro obtenu au deuxième lancer et 

Z

 le numéro obtenu au troisième lancer.Alors, les variables aléatoires 

X

,

Y

, et 

Z

 sont indépendantes.

Remarque

Plus généralement, si l'on considère une succession d'épreuves aléatoires indépendantes, chacune étant reliée à une variable aléatoire réelle, alors ces variables aléatoires sont indépendantes.

Produit d'une variable aléatoire par un réel, somme d'une variable aléatoire et d'un réel

Définition

Soit 

X

 une variable aléatoire réelle, définie sur un univers `\Omega`, et 

a

 un réel non nul.
La variable aléatoire 

aX

 est définie par : pour tout 

\omega \in \Omega

,

(aX)(\omega)=a\times X(\omega)

.
Ainsi, pour tout réel 

k

, on a 

P(aX=k)=P(X=\frac{k}{a})

.

Exemple

On considère la variable aléatoire 

X

 dont la loi est résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 1 & 2 & 5\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

On note 

Y

 la variable aléatoire définie par 

Y=3X

.
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 

Y

 est donc l'ensemble des triples des valeurs prises par la variable aléatoire 

X

, c'est-à-dire 

\{3 ; 6 ; 15\}

.
On a alors par exemple

P(Y=15)=P(3X=15)=P(X=5)=\dfrac{1}{6}

.
La loi de 

Y

 peut être résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 3 & 6 & 15\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

 Définition 

Soit 

X

 une variable aléatoire réelle, définie sur un univers 

\Omega

, et 

b

 un réel.
La variable aléatoire 

X+b

 est définie par : pour tout 

\omega \in \Omega

,

(X+b)(\omega)=X(\omega)+b

.
Ainsi, pour tout réel 

k

, on a

P(X+b=k)=P(X=k-b)

.

Exemple

On considère la variable aléatoire 

X

 dont la loi est résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 1 & 2 & 5\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

On note 

Y

 la variable aléatoire définie par 

Y=X+2

.
L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 

Y

 est donc l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire 

X

 auxquelles on ajoute 2. Il s'agit donc de l'ensemble 

\{3;4;7\}

.
On a alors par exemple

P(Y=3)=P(X+2=3)=P(X=1)=\dfrac{1}{2}

.
La loi de 

Y

 peut être résumée dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline k & 3 & 4 & 7\\\hline P(X=k) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \\ \hline\end{array}

Exemple

Au casino, une roulette classique comporte 18 cases rouges, 18 cases noires et 1 case verte. Les joueurs peuvent miser sur la couleur rouge ou la couleur noire. Si la bille de la roulette s'arrête sur la case verte, tous les joueurs perdent automatiquement.

Hélène joue à la roulette et mise à chaque fois 2 euros sur la couleur rouge. À chaque partie, sa probabilité de gagner est de 

18/37

. Si elle gagne, elle récupère sa mise et empoche 2 euros supplémentaires.
Hélène joue 5 parties. On appelle 

X

 le nombre de parties gagnées et 

Y

 le gain algébrique d'Hélène après ces 5 parties.Ainsi, 

X

 suit une loi binomiale de paramètres 

5

et

18/37

.
Par ailleurs,au bout des 5 parties, Hélène aura quoi qu'il arrive payé 10 euros. Son gain seraalorsde 4 euros multiplié par le nombre de parties gagnées, quiest donné par

X

. On peut ainsi établir que 

Y=4X-10

.
Connaissant la loi de 

X

, il est alors possible de déterminer facilement la loi de 

Y

.

Somme de variables aléatoires

Définition

Soit 

X

et

Y

 deux variables aléatoires définies sur un même univers 

\Omega

.
La variable aléatoire 

X+Y

 est définiepar : pour tout 

\omega \in \Omega

,

(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)

.

Exemple

Un supporter de football a étudié le nombre de buts marqués par son équipe au cours d'une saison. On considère un match au hasard de cette équipeet on appelle 

X

 le nombre de buts marqué par cette équipe en première mi-tempsde ce match et 

Y

 le nombre de buts marqués en seconde mi-tempsde ce match.Ainsi, 

X+Y

 représente le nombre de buts marqués parcette équipe au cours du match.
D'aprèsl'étude de ce supporter, on peut construire l'arbre de probabilités suivant.

La variable aléatoire 

X+Y

 prend les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4.
Il est alors possible d'établir la loi de 

X+Y

 en s'appuyant sur cet arbre de probabilités.
Par exemple, on a 

P(X+Y=1)=P(X=0 \cap Y=1)+P(X=1 \cap Y=0)=0,55 \times 0,6 + 0,4 \times 0,35 =0,47

La loi de 

X+Y

 peut alors résumée dans le tableau suivant.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline P(X+Y=k) & 0,165 & 0,47 & 0,27 & 0,085 & 0,01 \\ \hline\end{array}

Somme de variables aléatoires

Espérance, variance et opérations sur les variables aléatoires

Linéarité de l'espérance

Échantillon de variables aléatoires

Variables aléatoires somme et moyenne d'un échantillon

Opérations sur les variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

Produit d'une variable aléatoire par un réel, somme d'une variable aléatoire et d'un réel

Somme de variables aléatoires

Variance et opérations sur les variables aléatoires

Application à la loi binomiale